Question

Sin^4(x/2)-cos^4(x/2)=1/4Помогите кто может)

Answer 1

$\cos^4 t-\sin^4 t=(\cos^2 t-\sin^2 t)(\cos^2 t+\sin^2 t)=\cos2t\\\\\cos x=1/4\\x=\pm\arccos(1/4)+2\pi k$

Answer 2

Для начала, заметим, что данное уравнение связано с тригонометрической формулой:

sin^2(x/2) - cos^2(x/2) = 1/2

Теперь приведем уравнение к виду, содержащему только sin(x/2):

sin^2(x/2) - (1 - sin^2(x/2)) = 1/2

Упростим:

2sin^2(x/2) - 1 = 1/2

Заменим sin^2(x/2) на t:

2t - 1 = 1/2

Упростим далее:

2t = 3/2

t = 3/4

Теперь найдем sin(x/2) из полученной подстановки:

sin^2(x/2) = 3/4

sin(x/2) = ±sqrt(3/4) = ±sqrt(3)/2

Так как мы рассматриваем заданное уравнение sin^4(x/2) - cos^4(x/2) = 1/4, то нам нужно найти все решения, для которых sin(x/2) равно ±sqrt(3)/2, так как возведение в четвертую степень не меняет знак числа.

Теперь выразим x/2:

sin(x/2) = ±sqrt(3)/2

x/2 = arcsin(±sqrt(3)/2) + 2πk или x/2 = π - arcsin(±sqrt(3)/2) + 2πk, где k - целое число.

Теперь найдем x:

x = 2arcsin(±sqrt(3)/2) + 4πk или x = 2π - 2arcsin(±sqrt(3)/2) + 4πk, где k - целое число.

Таким образом, решениями уравнения sin^4(x/2) - cos^4(x/2) = 1/4 являются числа вида x = 2arcsin(±sqrt(3)/2) + 4πk или x = 2π - 2arcsin(±sqrt(3)/2) + 4πk, где k - целое число.