Question

Помогите с темой "Логарифмы", пожалуйста =) 1. Решите неравенство: lg^2*x+lg x < 0 2. Найдите производную: f(x)=1/6 * ln x

Answer 1

Lg²x+lgx<0  ОДЗ: x>0
lgx(lgx+1)<0      ___+___-1____-___0____+__      -1< lgx<0    10⁻¹<x<10⁰  0.1<x<1
x∈(0.1;1)
 f(x)=1/6 * ln x  f'(x)=1/6*1/x=1/(6x)

Answer 2

1. Решение неравенства: Начнем с преобразования данного неравенства. Для удобства заменим lg на log₂. Тогда неравенство примет вид: (log₂x)² + log₂x < 0

Мы знаем, что логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому мы можем предположить, что x > 0. Заметим, что если x = 1, то левая часть неравенства будет равна 0, что не удовлетворяет неравенству. Таким образом, x > 1.

Преобразуем данное неравенство: (log₂x)² + log₂x = (log₂x)(log₂x + 1) < 0

Мы знаем, что произведение двух чисел отрицательно только если одно из чисел отрицательное, а другое положительное. Также мы знаем, что log₂x положительно для x > 1. Значит, для выполнения данного неравенства должно быть log₂x + 1 < 0. Решим это неравенство:

log₂x + 1 < 0 log₂x < -1 x < 2⁻¹ x < 1/2

Таким образом, решение исходного неравенства выглядит следующим образом: 0 < x < 1/2.

2. Найдем производную функции f(x) = (1/6) * ln(x). Запишем функцию в виде: f(x) = (1/6) * ln(x) = (1/6) * logₑ(x) / logₑ(2)

Для нахождения производной использовать правило производной логарифма и правило константы:

f'(x) = (1/6) * (1/x) * (1 / logₑ(2)) f'(x) = 1 / (6 * x * logₑ(2))

Таким образом, производная функции f(x) равна 1 / (6 * x * logₑ(2)).