Question

Примените теорему Виета. а) В уравнении х^2 - 12х + q = 0 один из корней х1=5. Зная, что х1 + х2=12 и х1*х2=q, найдите q. б) В уравнении х^2 + рх + 15+0 один из корней х1+3. Зная, что х1*х2=15 и х1+х2= -р, найдите р. Помогите пожалуйста!

Answer 1

А) x₁ + x₂ = 12
Т.к. x₁ = 5, то x₂ = 12 - x₁ = 12 - 5 = 7.
q = x₁·x₂ = 5·7 = 35
Ответ: q = 35.

б) x₁ = 3 
x₁·x₂ = 15
x₂ = 15/x₁ = 15/3 = 5 
x₁ + x₂ = 5 + 3  = 8
Тогда p = -8.
Ответ: p = -8.

Answer 2

Давайте решим оба уравнения, используя теорему Виета.

a) Уравнение \(x^2 - 12x + q = 0\), где \(x_1 = 5\)

Теорема Виета для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) утверждает, что сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a}\).

В данном случае: - Сумма корней \(x_1\) и \(x_2\) равна 12, поэтому \(x_2 = 12 - x_1 = 12 - 5 = 7\). - Произведение корней \(x_1\) и \(x_2\) равно \(q\).

Используем теорему Виета: \[ \begin{align*} x_1 + x_2 &= 12 \quad \text{(сумма корней)} \\ 5 + 7 &= 12 \end{align*} \]

Следовательно, теорема Виета выполняется для суммы корней.

Теперь рассмотрим произведение корней: \[ \begin{align*} x_1 \cdot x_2 &= q \quad \text{(произведение корней)} \\ 5 \cdot 7 &= 35 \end{align*} \]

Таким образом, значение \(q = 35\).

б) Уравнение \(x^2 + px + 15 = 0\), где \(x_1 = 3\)

Аналогично, теорема Виета для данного уравнения утверждает: - Сумма корней \(x_1\) и \(x_2\) равна \(-\frac{p}{1} = -p\). - Произведение корней \(x_1\) и \(x_2\) равно \(\frac{15}{1} = 15\).

Теперь подставим \(x_1 = 3\) и используем теорему Виета: \[ \begin{align*} x_1 + x_2 &= -p \quad \text{(сумма корней)} \\ 3 + x_2 &= -p \end{align*} \]

Также известно, что \(x_1 \cdot x_2 = 15\): \[ \begin{align*} x_1 \cdot x_2 &= 15 \quad \text{(произведение корней)} \\ 3 \cdot x_2 &= 15 \end{align*} \]

Решим эти уравнения: \[ \begin{align*} x_2 &= -p - 3 \quad \text{(из первого уравнения)} \\ 3 \cdot x_2 &= 15 \quad \text{(из второго уравнения)} \end{align*} \]

Подставим первое уравнение во второе: \[3 \cdot (-p - 3) = 15\]

Решим это уравнение и найдем значение \(p\).