Question

Муравей ползет по ребрам куба,поворачивая лишь в вершинах.Может ли случиться так,что: а)в одной из вершин он побывает 25 раз,а в остальных - по 20 б)в одной из вершин он побывает 20 раз,а в каждой из остальных - по 25 в) одной из вершин он побывает 20 раз,а в трех - 20 и в одной 31?

Answer 1

Обозначим вершины куба: ABCDA1B1C1D1. Разделим вершины на две группы: A,C,B1,D1 и BDA1C1. Путь муравья проходит поочерёдно через вершины первой и второй группы. Значит суммы посещений вершин в обеих группах не могут отличаться более, чем на единицу.
а) и б) Не может, так суммы отличаются на 5.
в) Может: вначале покрутиться по одной грани 20 раз, а затем по противоположной грани покрутиться 30 раз + зайти в ещё одну вершину этой же грани.

Answer 2

Конечно, рассмотрим каждый из сценариев:

а) Если муравей ползает по ребрам куба, поворачивая лишь в вершинах, и он побывает в одной из вершин 25 раз, а в остальных по 20 раз, это невозможно. Потому что общее количество рёбер, связывающих вершины куба, должно быть одинаковым для всех вершин. Если муравей переходит от вершины к вершине только по рёбрам куба, то количество переходов в каждую вершину должно быть одинаковым. Поэтому в данном случае невозможно, чтобы муравей посетил одну вершину 25 раз и остальные по 20.

б) Теперь, если муравей побывает в одной из вершин 20 раз, а в каждой из остальных по 25 раз, это также невозможно. Аналогично предыдущему случаю, количество рёбер, соединяющих вершины куба, одинаково для всех вершин, поэтому муравей не может посетить одну вершину меньшее количество раз, чем другие.

в) В последнем сценарии, где муравей побывает в одной из вершин 20 раз, а в трёх других по 20 раз и в одной 31 раз, это тоже невозможно. Потому что общее количество переходов должно быть одинаковым для всех вершин.

Таким образом, ни один из предложенных вариантов не соответствует правилам, поэтому такие ситуации не могут случиться при условиях движения муравья по рёбрам куба.