Question

Решить уравнение, сделав подстановку. а) 2 sin^2x – 5 sin x + 2 = 0 б) 2 cos^2x + 5 sin x - 4 = 0 в) 3 tg x - 3 ctg x = 8

Answer 1

а) 2 sin^2x – 5 sin x + 2 = 0

D=25-16=9

sin x = 1/2 и 2

sin x = 2 не существует

sin x = 1/2

x = (-1)^n * п/6 + пn

б) 2 cos^2x + 5 sin x - 4 = 0

2*(1-sin^2 x) + 5sin x - 4 = 0

2sin^2 x - 5sin x + 2 = 0

D=25-16=9

sin x = 1/2 и 2

sin x = 2 не существует

sin x = 1/2

x = (-1)^n * п/6 + пn

в) 3 tg x - 3 ctg x = 8

3tg^2 x - 8tg x - 3 = 0

D=64+36=100

tg x = -1/3 и 3

tg x = -1/3

x = -arctg1/3 + пn

tg x = 3

x = arctg3 + пn

Answer 2

а) Для решения уравнения 2sin^2x – 5sinx + 2 = 0 сделаем подстановку y = sinx. Тогда уравнение примет вид 2y^2 - 5y + 2 = 0. Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-5)^2 - 4*2*2 = 25 - 16 = 9.

Таким образом, уравнение имеет два корня:

y1 = (-(-5) + √9) / (2*2) = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2, y2 = (-(-5) - √9) / (2*2) = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2.

Теперь найдем значения sinx для каждого из корней:

для y1: sinx = 2, для y2: sinx = 1/2.

Обратимся к графику синусоиды, чтобы найти все значения x от 0 до 2π (так как sin имеет период 2π), при которых sinx равен 2 и 1/2.

На графике видно, что значения sinx больше 1 или меньше -1 не возможны, поэтому решениями уравнения будут только те значения x, которые находятся в пределах таких значений sinx.

Таким образом, решениями уравнения будут: для y1: x = π/2 + 2kπ, для y2: x = π/6 + 2kπ или x = 5π/6 + 2kπ (где k - целое число).

б) Для решения уравнения 2cos^2x + 5sinx - 4 = 0 сделаем подстановку y = cosx. Тогда уравнение примет вид 2y^2 + 5*sinx - 4 = 0.

Решим это уравнение как квадратное относительно y с помощью дискриминанта:

D = (5sinx)^2 - 4*2*(-4) = 25sin^2x + 32.

Для нахождения sinx возьмем два случая: 1. Если sinx = 1, то D = 25 + 32 = 57. 2. Если sinx = -1, то D = 25 + 32 = 57.

Таким образом, дискриминант равен 57 в обоих случаях.

Теперь найдем значения y (cosx) с помощью решения уравнения y = (5sinx ± √D) / (4).

1. Если sinx = 1, то y1 = (5 + √57) / 4 ≈ 0,95, Если sinx = -1, то y2 = (5 - √57) / 4 ≈ -0,45.

На графике можно увидеть, что значения cosx лежат в интервале [-1, 1]. Поэтому нас интересуют только корни, которые попадают в этот интервал.

Таким образом, решением уравнения будет: для y1: cosx ≈ 0,95, для y2: cosx ≈ -0,45.

Из графика следует, что значения cosx равны 0,95 и -0,45 только при x, таких что x ≈ 0,75 + 2kπ (где k - целое число).

в) Для решения уравнения 3tgx - 3ctgx = 8 сделаем подстановку y = tgx. Тогда уравнение примет вид 3y - 3/y = 8.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: 3y^2 - 8y - 3 = 0.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-8)^2 - 4*3*(-3) = 64 + 36 = 100.

Таким образом, уравнение имеет два корня:

y1 = (-(-8) + √100) / (2*3) = (8 + 10) / 6 = 18 / 6 = 3, y2 = (-(-8) - √100) / (2*3) = (8 - 10) / 6 = -2 / 6 = -1/3.

Теперь найдем значения tgx для каждого из корней:

для y1: tgx = 3, для y2: tgx = -1/3.

Обратимся к графику тангенсоиды, чтобы найти все значения x от 0 до π (так как tg имеет период π), при которых tgx равен 3 и -1/3.

На графике видно, что значения tgx могут принимать любые значения вне участка от -1 до 1, поэтому решений существует бесконечно много.

Таким образом, решением уравнения будет x = arctg(3) + kπ и x = arctg(-1/3) + kπ (где k - целое число).