Question

Разность корней уравнения x2-13x+a=0 равна 7. Найдите значение а

Answer 1

По т.Виета сумма корней
х1 + х2 = 13
х1 - х2 = 7
--------------------система
2*х1 = 20
х1 = 10
х2 = 3
по т.Виета
а = х1 * х2 = 30

Answer 2

Давайте решим уравнение \(x^2 - 13x + a = 0\) и найдем разность корней, при условии, что эта разность равна 7.

Обозначим корни уравнения через \(x_1\) и \(x_2\). Тогда разность корней будет равна \(x_2 - x_1\). Известно, что \(x_2 - x_1 = 7\).

Уравнение квадратное, и его корни можно найти с использованием формулы для квадратного уравнения: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где у нас есть уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\). В данном случае \(a = 1\), \(b = -13\), и \(c = a\).

Подставим значения в формулу и решим уравнение: \[x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(1)(a)}}{2 \times 1}.\]

Теперь у нас есть два корня, \(x_1\) и \(x_2\), и разность между ними равна 7: \[x_2 - x_1 = 7.\]

Подставим значения корней и решим уравнение: \[\left(\frac{13 + \sqrt{169 - 4a}}{2}\right) - \left(\frac{13 - \sqrt{169 - 4a}}{2}\right) = 7.\]

Упростим это уравнение и найдем значение \(a\): \[\sqrt{169 - 4a} = 7.\]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[169 - 4a = 7^2.\]

Решим это уравнение относительно \(a\): \[169 - 4a = 49.\]

Теперь выразим \(a\): \[4a = 120.\]

\[a = 30.\]

Таким образом, значение \(a\), при котором разность корней уравнения \(x^2 - 13x + a = 0\) равна 7, равно 30.