Question

Найдите величину угла A треугольника АВС если sin^4 A= cos^4 A+0.5

Answer 1

Так как
sin⁴α  -  cos ⁴α = (sin²α - cos²α )(sin²α  + cos ²α  )=sin²α - cos²α=-(cos²α- sin²α)=-cos2α
то
sin⁴α  = cos ⁴α + 0,5
sin⁴α  -  cos ⁴α = 0,5
- сos 2α = 0,5
cos 2α= -0,5
2α=± arccos (-0,5) + 2πk,  k∈ Z
2α= ± (π - arccos 0,5) + 2πk ,  k∈Z
2α= ± (π -  (π/3)) + 2πk ,  k∈Z
2α= ± (2π/3) + 2πk ,  k∈Z
α= ± (π/3) + πk ,  k∈Z
Условию задачи удовлетворяет
1) угол  π/3 радиан или 60°
2) (-π/3 + π)=2π/3 радиан  или 120°
Ответ. 60° или 120°

Answer 2

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для связи синусов и косинусов, а также для упрощения уравнения.

Дано: \( \sin^4 A = \cos^4 A + 0.5 \).

Используем тригонометрическое тождество \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

Возводим его в четвертую степень:

\[ (\sin^2 A + \cos^2 A)^2 = 1 \]

Раскрываем скобки:

\[ \sin^4 A + 2 \sin^2 A \cos^2 A + \cos^4 A = 1 \]

Теперь заменяем \(\sin^4 A\) на \(\cos^4 A + 0.5\), как указано в задаче:

\[ (\cos^4 A + 0.5) + 2 \sin^2 A \cos^2 A + \cos^4 A = 1 \]

Упрощаем уравнение:

\[ 2 \cos^4 A + 2 \sin^2 A \cos^2 A + 0.5 = 1 \]

Выражаем \(\sin^2 A\) через \(\cos^2 A\), используя тождество \(\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\):

\[ 2 \cos^4 A + 2 (1 - \cos^2 A) \cos^2 A + 0.5 = 1 \]

Раскрываем скобки:

\[ 2 \cos^4 A + 2 \cos^2 A - 2 \cos^4 A + 0.5 = 1 \]

Упрощаем:

\[ 2 \cos^2 A + 0.5 = 1 \]

Выражаем \(\cos^2 A\):

\[ 2 \cos^2 A = 0.5 \]

\[ \cos^2 A = 0.25 \]

Теперь найдем значение \(\cos A\):

\[ \cos A = \pm \sqrt{0.25} \]

\[ \cos A = \pm 0.5 \]

Так как угол \( A \) находится в первом или втором квадранте, то \( \cos A \) положителен. Следовательно, \( \cos A = 0.5 \).

Теперь мы можем найти угол \( A \):

\[ A = \cos^{-1}(0.5) \]

\[ A = 60^\circ \]

Итак, величина угла \( A \) в треугольнике \( ABC \) равна \( 60^\circ \).