Question

Помогите решить 1)1-(cos² - sin² ) =? 2)1-sincostg =? 3) cos²tg² + 5cos² - 1=? 4) sin + 3sin² + 3cos² =?

Answer 1

$1)1-(cos^2 \alpha - sin^2 \alpha ) =cos^ \alpha +sin^2 \alpha -cos^2 \alpha +sin^2 \alpha =2sin^2 \alpha$

$2)1-sin \alpha\cdot cos \alpha \cdot tg \alpha =1-sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot \frac{sin \alpha }{cos \alpha }=1-sin^2 \alpha =cos^2 \alpha$

$3) cos^2\alpha\cdot tg^2 \alpha + 5cos^2 \alpha - 1= \\ \\=cos^2\alpha\cdot \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} + 5cos^2 \alpha - 1=sin \alpha ^{2}+cos^2 \alpha +4cos^2 \alpha -1=\\ \\==1+4cos^2 \alpha-1=4cos^2 \alpha$

$4) sin \alpha + 3sin^2 \alpha+3cos^2 \alpha =sin \alpha +3(sin^2 \alpha +cos^2 \alpha )=sin \alpha +3\cdot1= \\ \\ =sin \alpha +1$

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по порядку:

1. \(1 - (\cos^2 + \sin^2)\)

Известно, что \(\cos^2 + \sin^2 = 1\) (тождество Пифагора). Подставим это в уравнение:

\[1 - (\cos^2 + \sin^2) = 1 - 1 = 0\]

Ответ: \(0\).

2. \(1 - \sin\cos\tan\)

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для связи функций синуса, косинуса и тангенса:

\[\tan = \frac{\sin}{\cos}\]

Теперь подставим это в уравнение:

\[1 - \sin\cos\tan = 1 - \sin\cos\left(\frac{\sin}{\cos}\right)\]

Раскроем скобки:

\[1 - \sin\cos\left(\frac{\sin}{\cos}\right) = 1 - \frac{\sin^2}{\cos}\]

Умножим числитель и знаменатель на \(\cos\), чтобы избавиться от дроби:

\[1 - \frac{\sin^2}{\cos} = \frac{\cos - \sin^2}{\cos}\]

Теперь упростим:

\[\frac{\cos - \sin^2}{\cos} = 1 - \sin^2\]

Используем тождество Пифагора \(\sin^2 + \cos^2 = 1\):

\[1 - \sin^2 = \cos^2\]

Ответ: \(\cos^2\).

3. \(\cos^2\tan^2 + 5\cos^2 - 1\)

Мы знаем, что \(\tan = \frac{\sin}{\cos}\), поэтому \(\tan^2 = \frac{\sin^2}{\cos^2}\).

Подставим это в уравнение:

\[\cos^2\tan^2 + 5\cos^2 - 1 = \cos^2\left(\frac{\sin^2}{\cos^2}\right) + 5\cos^2 - 1\]

Упростим:

\[\cos^2\left(\frac{\sin^2}{\cos^2}\right) + 5\cos^2 - 1 = \sin^2 + 5\cos^2 - 1\]

Используем тождество Пифагора:

\[\sin^2 + \cos^2 = 1\]

Теперь у нас есть:

\[1 + 5\cos^2 - 1\]

Упростим:

\[5\cos^2\]

Ответ: \(5\cos^2\).

4. \(\sin + 3\sin^2 + 3\cos^2\)

Мы можем использовать тождество Пифагора \(\sin^2 + \cos^2 = 1\), чтобы заменить \(\sin^2 + \cos^2\) в уравнении:

\[\sin + 3\sin^2 + 3\cos^2 = \sin + 3(1 - \cos^2) + 3\cos^2\]

Упростим:

\[\sin + 3 - 3\cos^2 + 3\cos^2\]

Теперь у нас есть:

\[3 + \sin\]

Ответ: \(3 + \sin\).