Question

Решите пожалуйста! z^2-(4+3i)z+1+7i=0

Answer 1

Z=((4+3i)+-корень из(16+24i-9-4*1*(1+7i)))/2 =
= ((4+3i)+-корень из(7+24i-4-28i))/2 =
= ((4+3i)+-корень из(3-4i))/2

z1 = (4+3i+$\sqrt{3-4i}$)/2

z2 = (4+3i-$\sqrt{3-4i}$)/2

Answer 2

Для решения данного уравнения квадратного полинома вида z^2 + az + b = 0, мы можем использовать метод квадратного уравнения. В данном случае, у нас есть полином z^2 - (4+3i)z + (1+7i) = 0. Давайте посмотрим, как можно решить это уравнение.

Коэффициенты и дискриминант

В данном уравнении, коэффициенты a и b равны: a = -(4+3i) b = 1+7i

Для решения уравнения, мы сначала вычислим дискриминант (D) по формуле: D = a^2 - 4b

Вычисление дискриминанта

Подставим значения коэффициентов в формулу для дискриминанта: D = (-(4+3i))^2 - 4(1+7i)

Вычислим квадрат и упростим выражение: D = (16 + 24i + 9i^2) - 4 - 28i D = 16 + 24i - 9 + 28i - 4 - 28i D = 3 + 24i

Решение уравнения

Теперь, имея значение дискриминанта D, мы можем решить уравнение.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень. Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня.

В нашем случае D = 3 + 24i.

Так как D является комплексным числом, у нас будет два комплексных корня.

Вычисление корней

Для вычисления корней, мы используем формулу квадратного уравнения: z = (-a ± √D) / 2

Подставим значения коэффициентов и дискриминанта в формулу: z = (4+3i ± √(3+24i)) / 2

Так как дискриминант D = 3 + 24i, мы вычислим квадратный корень из D и подставим его в формулу: √(3+24i) = √3 + √24i

Вычисление квадратного корня из 24i

Для вычисления квадратного корня из 24i, мы представим 24i в тригонометрической форме.

24i = 24(cos(π/2) + i*sin(π/2))

Теперь вычислим квадратный корень из 24i, применив формулу: √(24i) = √(24)*√(cos(π/2) + i*sin(π/2)) = 2√6(cos(π/4) + i*sin(π/4))

Подстановка корней в формулу

Теперь, когда у нас есть значение √(3+24i) и коэффициенты a и b, мы можем подставить их в формулу для вычисления корней:

z = (4+3i ± √(3+24i)) / 2

Подставим значения √(3+24i): z = (4+3i ± 2√6(cos(π/4) + i*sin(π/4))) / 2

Упростим выражение: z = 2 + 3/2i ± √6(cos(π/4) + i*sin(π/4))

В итоге, у нас есть два комплексных корня для данного уравнения: z1 = 2 + 3/2i + √6(cos(π/4) + i*sin(π/4)) z2 = 2 + 3/2i - √6(cos(π/4) + i*sin(π/4))

Для получения более точных числовых значений, можно вычислить значения √6, cos(π/4) и sin(π/4) с помощью калькулятора или программы для работы с комплексными числами.