Question

Напишите уравнение параболы y=ax^2+bx+c которая проходит через точку A и имеет вершину в точке B а)A(0;-5) B(3;4) б)A(1;2) B(-1;-10) в)A(-1;9) B(-2;11)

Answer 1

Подставить координаты точек в выражение и поискать коэффициенты. раз точка B - вершина, значит уравнение будет иметь вид
у = a(x-0.5)^2+16
отсюда при точке А получим
3 = a(1-0.5)^2+16
0.25a =-13
а = -52.
уравнение будет иметь вид
у = -52(x-0,5)^2+16
или упрости до заданного вида сам(а)

Answer 2

Чтобы написать уравнение параболы в форме \(y = ax^2 + bx + c\), нужно использовать две известные точки и вершину параболы.

Посмотрим на каждый вариант:

a) A(0,-5) и B(3,4)

1. Вершина параболы: Вершина параболы находится посередине между точками A и B. Для нахождения координат вершины \(V(h, k)\), где \(h\) - среднее значение \(x\) между точками A и B, а \(k\) - среднее значение \(y\).

\[ h = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + 3}{2} = 1.5 \] \[ k = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{(-5) + 4}{2} = -\frac{1}{2} \]

Таким образом, вершина \(V\) имеет координаты (1.5, -0.5).

2. Коэффициент \(a\): Коэффициент \(a\) можно найти, используя координаты вершины и одну из точек A или B. Воспользуемся вершиной \(V(1.5, -0.5)\) и точкой B(3,4).

\[ a = \frac{y_B - k}{(x_B - h)^2} \] \[ a = \frac{4 - (-0.5)}{(3 - 1.5)^2} = \frac{4.5}{2.25} = 2 \]

3. Подставим значения в уравнение: Теперь мы можем подставить найденные значения в уравнение:

\[ y = 2x^2 - 3x - 0.5 \]

б) A(1,2) и B(-1,-10)

1. Вершина параболы: Вершина \(V\) имеет координаты, найденные таким же образом, как и в предыдущем варианте:

\[ h = \frac{1 + (-1)}{2} = 0 \] \[ k = \frac{2 + (-10)}{2} = -4 \]

Таким образом, вершина \(V\) имеет координаты (0, -4).

2. Коэффициент \(a\): Используем вершину \(V(0, -4)\) и одну из точек, например, A(1,2):

\[ a = \frac{y_A - k}{(x_A - h)^2} \] \[ a = \frac{2 - (-4)}{(1 - 0)^2} = \frac{6}{1} = 6 \]

3. Подставим значения в уравнение: Теперь мы можем записать уравнение параболы:

\[ y = 6x^2 - 4x - 4 \]

в) A(-1,9) и B(-2,11)

1. Вершина параболы: Найдем координаты вершины \(V\) так же, как и в предыдущих случаях:

\[ h = \frac{(-1) + (-2)}{2} = -1.5 \] \[ k = \frac{9 + 11}{2} = 10 \]

Таким образом, вершина \(V\) имеет координаты (-1.5, 10).

2. Коэффициент \(a\): Используем вершину \(V(-1.5, 10)\) и одну из точек, например, A(-1,9):

\[ a = \frac{y_A - k}{(x_A - h)^2} \] \[ a = \frac{9 - 10}{(-1 - (-1.5))^2} = \frac{-1}{0.25} = -4 \]

3. Подставим значения в уравнение: Теперь мы можем записать уравнение параболы:

\[ y = -4x^2 + 12x + 5 \]

Таким образом, уравнения парабол для каждого варианта:

а) \(y = 2x^2 - 3x - 0.5\)

б) \(y = 6x^2 - 4x - 4\)

в) \(y = -4x^2 + 12x + 5\)