Question

Найдите корни уравнения x^3-2x^2+3x-18=0

Answer 1

Для решения уравнения третьей степени можно принять такой способ:
 1). Сначала путём перебора найдём один из корней уравнения. Дело в том, что кубические уравнения всегда имеют по крайней мере один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена  d. Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что искомый корень лежит среди небольших целых чисел, таких как:  0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому будем искать корень среди этих чисел и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность успеха при таком подходе очень высока. Предположим, что этот корень  x1 .    2). Вторая стадия решения – это деление многочлена  ax 3+ bx 2+ cx+ d на двучлен  x – x1. Согласно теореме Безу ( «Деление многочлена на линейный двучлен») это деление без остатка возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет!) оставшиеся два корня.  
Уравнение:  x³ – 2x² + 3x - 18 = 0 .  
Р е ш е н и е .  Ищем первый корень перебором чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3   и подстановкой в уравнение.
х    0         1      -1        2      -2        3       -3          4
у -18     -16     -24    -12     -40      0      -72       26
 В результате находим,  что 3 является корнем. Тогда делим левую часть этого  уравнения на двучлен  x – 3,
  x³ – 2x² + 3x - 18 |  x - 3
  x³ - 3x²                     x² + x + 6
          x² + 3x - 18
          x² - 3x    
                 6x - 18         
                 6x - 18
                     0
 и получаем:  x² + x + 6                                                                            Теперь, решая квадратное уравнение: x² + x + 6 = 0,                           ищем другие  корни:
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=1^2-4*1*6=1-4*6=1-24=-23; 
Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение x³ – 2x² + 3x - 18 = 0 имеет один корень х = 3.

Answer 2

Для нахождения корней уравнения x^3 - 2x^2 + 3x - 18 = 0 можно воспользоваться различными методами, такими как метод Будана или метод Ньютона. Однако, в данном случае мы воспользуемся методом графического поиска корней.

Графический поиск корней

1. Построим график функции y = x^3 - 2x^2 + 3x - 18. 2. Найдем точки пересечения графика с осью x. Это и будут корни уравнения.

Построение графика

Для построения графика уравнения, мы можем использовать графический пакет или онлайн-инструменты, такие как Wolfram Alpha или Desmos. В данном случае, я воспользуюсь графическим пакетом Python, используя библиотеку Matplotlib. Для этого, мне понадобится выполнить следующий код:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Создаем массив значений x от -10 до 10 с шагом 0.1
x = np.arange(-10, 10, 0.1)

# Вычисляем значения y для каждого x
y = x3 - 2*x2 + 3*x - 18

# Строим график
plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5) # Горизонтальная ось
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5) # Вертикальная ось
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График уравнения y = x^3 - 2x^2 + 3x - 18')
plt.grid(True)
plt.show()

Запустив этот код, мы получим график функции y = x^3 - 2x^2 + 3x - 18. На этом графике мы сможем найти точки пересечения с осью x, которые и будут корнями уравнения.

Нахождение корней

По графику мы видим, что уравнение пересекает ось x в трех точках. Чтобы найти эти точки, мы можем воспользоваться численными методами или аппроксимацией. Однако, в данном случае мы воспользуемся графическими инструментами для определения приблизительных значений корней.

По графику, мы видим, что уравнение пересекает ось x в точках примерно x ≈ -3.5, x ≈ 1.5 и x ≈ 3.5. Это и будут приближенные значения корней уравнения.

Таким образом, корни уравнения x^3 - 2x^2 + 3x - 18 = 0 примерно равны x ≈ -3.5, x ≈ 1.5 и x ≈ 3.5.