Question

Доведіть нерівність: (а+4)(b+9)(c+16)≥192√(abc); a≥0; b≥0; c≥0

Answer 1

Для неотрицательных a,b,c применим неравенство Коши:

$a+4\geq 2\sqrt{4a}=4\sqrt{a}\\ b+9\geq 2\sqrt{9b}=6\sqrt{b}\\ c+16\geq 2\sqrt{16c}=8\sqrt{c}$

Перемножив эти неравенства, мы получим

$(a+4)(b+9)(c+16)\geq 4\sqrt{a}\cdot 6\sqrt{b}\cdot 8\sqrt{c}=192\sqrt{abc}$

Доказано.

Answer 2

Для доведення нерівності (а+4)(b+9)(c+16)≥192√(abc), де a≥0, b≥0, c≥0, можна скористатися наступними кроками:

1. Поділимо обидві частини нерівності на додатне число √(abc) і отримаємо:

(а+4)(b+9)(c+16) ≥ 192√(abc) / √(abc)

(а+4)(b+9)(c+16) / √(abc) ≥ 192

2. Застосуємо нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним для кожної дужки в лівій частині нерівності:

(а+4)(b+9)(c+16) / √(abc) ≥ (a+4+b+9+c+16) / 3

3. Спростимо ліву частину нерівності і отримаємо:

(a+4+b+9+c+16) / 3 ≥ 192

a+b+c+29 ≥ 576

4. Перенесемо 29 в праву частину нерівності і отримаємо:

a+b+c ≥ 547

5. Оскільки за умовою a≥0, b≥0, c≥0, то остання нерівність є правильною для будь-яких додатних значень a, b, c. Тому початкова нерівність також є правильною для будь-яких додатних значень a, b, c.

Джерела:

[Самостійна робота 9 клас. Властивості числових нерівностей. Оцінювання значення визару](https://naurok.com.ua/samostiyna-robota-9-klas-vlastivosti-chislovih-nerivnostey-ocinyuvannya-znachennya-vizaru-301059.html)

[Підручник Алгебра 9 клас - Н. А. Тарасенкова - Оріон 2017 рік](https://subject.com.ua/textbook/mathematics/9klas_3/5.html)

[Калькулятор рівнянь, нерівностей та систем онлайн](https://mathdf.com/equ/uk/)