Question

При каких значениях параметра b неравенство x^2+2bx-(b-6)>0 верно для всех значений x?

Answer 1

  x^2+2bx-(b-6)>0

график парабола, ветви вверх, поэтому  >0  при любом х случится при условии расположения параболы целиком выше оси абсцисс (ОХ), значит нет пересечений о осью ОХ, значит нет нулей у функции, т.е.нет корней у квадратного уравнения, а это, в свою очередь, бывает, когда дискриминант квадратного уравнения <0, решаем:

х2+2bx -(b-6) = 0

D=4b2 +4(b-6) = 4b2+4b-24

4b2+4b-24<0 |:4

решаем неравенство:

b2+b-6<0

b2+b-6=0

D=1+24=25

b(1) = (-1+5)/2 = 2

b(2) = (-1-5) / 2 = -3

    -3       2          x

----o------o-------->

      /////////

D<0 при b∈(-3; 2) ⇒ при b∈(-3; 2) y>0

Answer 2

Для решения неравенства x^2 + 2bx - (b-6) > 0 для всех значений x, нужно определить значения параметра b, при которых неравенство выполняется.

Анализ неравенства

Неравенство x^2 + 2bx - (b-6) > 0 представляет собой квадратное уравнение, где коэффициенты a = 1, b = 2b и c = -(b-6). Чтобы найти значения параметра b, при которых неравенство выполняется, нужно рассмотреть его дискриминант и знак выражения.

Дискриминант

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. В данном случае, a = 1, b = 2b и c = -(b-6), поэтому дискриминант будет равен D = (2b)^2 - 4(1)(-(b-6)).

Знак выражения

Чтобы определить знак выражения x^2 + 2bx - (b-6), нужно рассмотреть значения дискриминанта и коэффициента a.

Решение

1. Вычислим дискриминант D = (2b)^2 - 4(1)(-(b-6)): D = 4b^2 + 4(b-6) = 4b^2 + 4b - 24.

2. Рассмотрим знак выражения x^2 + 2bx - (b-6): - Если D > 0 и a > 0, то выражение будет положительным для всех значений x. - Если D < 0 и a < 0, то выражение будет отрицательным для всех значений x. - Если D = 0, то выражение будет равно нулю при x = -b/2a.

Таким образом, для всех значений x неравенство x^2 + 2bx - (b-6) > 0 будет выполняться, если: - D > 0 и a > 0, то есть 4b^2 + 4b - 24 > 0 и 1 > 0. - D < 0 и a < 0, то есть 4b^2 + 4b - 24 < 0 и 1 < 0. - D = 0, то есть 4b^2 + 4b - 24 = 0.

Заключение

Для определения значений параметра b, при которых неравенство x^2 + 2bx - (b-6) > 0 выполняется для всех значений x, необходимо рассмотреть условия, когда дискриминант D больше нуля и коэффициент a положителен, когда D меньше нуля и коэффициент a отрицателен, а также когда D равен нулю. Для более точного ответа требуется дополнительная информация о значении параметра b.