Question

Прошу помогите!!! Завтра надо здавать!!! Найдите наименьшее значение функции y=1/2x^2 + 2x + 1

Answer 1

Решение
y = (1/2)*x² + 2x + 1
Находим первую производную функции
y` = x + 2
Приравниваем её к нулю
x + 2 = 0
x = - 2
Вычисляем значение функции
f(- 2) = (1/2)*(- 2)² + 2*(- 2) + 1 = - 1
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Найдём вторую производную
y`` = 1
Вычисляем: y``(-2) = 1 > 0 значит точка х = - 2 - точка минимума

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = 1/2x^2 + 2x + 1, мы можем использовать метод завершения квадрата или метод дифференцирования. Я расскажу вам оба подхода.

Метод завершения квадрата

1. Начнем с функции y = 1/2x^2 + 2x + 1. 2. Чтобы завершить квадрат, добавим и вычтем квадрат половины коэффициента x (т.е. (2/2)^2 = 1). y = 1/2x^2 + 2x + 1 + 1 - 1 = 1/2x^2 + 2x + 2 - 1 = 1/2x^2 + 2x + 2 - 1 = 1/2(x^2 + 4x + 4) - 1 3. Теперь у нас есть квадратное выражение в скобках, которое можно записать в виде квадрата: y = 1/2(x + 2)^2 - 1.

Таким образом, наименьшее значение функции y = 1/2x^2 + 2x + 1 равно -1 и достигается при x = -2.

Метод дифференцирования

1. Найдем производную функции y = 1/2x^2 + 2x + 1. y' = d/dx(1/2x^2 + 2x + 1) = 1/2 * d/dx(x^2) + d/dx(2x) + d/dx(1) = 1/2 * 2x + 2 + 0 = x + 2. 2. Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение x + 2 = 0. x = -2. 3. Теперь найдем значение функции y при x = -2. y = 1/2(-2)^2 + 2(-2) + 1 = 1/2(4) - 4 + 1 = 2 - 4 + 1 = -1.

Таким образом, наименьшее значение функции y = 1/2x^2 + 2x + 1 равно -1 и достигается при x = -2.

Обратите внимание: Я предоставил два метода для нахождения наименьшего значения функции. Оба метода приводят к одному и тому же результату. Вы можете выбрать тот метод, который вам более понятен или удобен для использования. Удачи вам с вашим заданием!