Question

Sin(5pi/2+2x)-5 sin(3pi/2-x)-1=0

Answer 1

Sin(2π+π/2+2x)-5sin(3π/2-x)-1=0
cos2x+5cosx-1=0
2cos²x-1+5cosx-1=0
cosx-a
2a²+5a-2=0
D=25-16=9
a1=(-5-3)/4=-2⇒cosx=-2<-1 нет решения
a2=(-5+3)/4=-1/2⇒cosx=-1/2⇒x=+-2π/3+2πn,n∈z

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом. У вас есть уравнение:

\[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 2x\right) - 5 + \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) - 1 = 0 \]

Для удобства давайте перепишем суммы и разности в терминах синусов:

\[ -\sin(2x) - 5 - \cos(x) - 1 = 0 \]

Теперь объединим похожие элементы:

\[ -\sin(2x) - \cos(x) - 6 = 0 \]

Переносим константу на другую сторону:

\[ -\sin(2x) - \cos(x) = 6 \]

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Например, мы знаем, что \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \). Заменим это в уравнении:

\[ -2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = 6 \]

Факторизуем общий множитель \(-\cos(x)\):

\[ -\cos(x)(2\sin(x) + 1) = 6 \]

Теперь у нас есть произведение двух выражений, равное нулю. Это означает, что одно из этих выражений равно нулю:

1. \(-\cos(x) = 0\) 2. \(2\sin(x) + 1 = 0\)

Давайте решим каждое уравнение по отдельности.

Решение уравнения \(-\cos(x) = 0\):

Если \(-\cos(x) = 0\), то \(\cos(x) = 0\). Решения этого уравнения можно найти, зная, что косинус равен нулю в точках \(\frac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k\) - целое число. Таким образом, получаем:

\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k \]

Решение уравнения \(2\sin(x) + 1 = 0\):

Вычитаем 1 и делим на 2:

\[ 2\sin(x) = -1 \]

\[ \sin(x) = -\frac{1}{2} \]

Решения этого уравнения можно найти, зная, что синус равен \(-\frac{1}{2}\) в точках \(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(\frac{7\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число. Таким образом, получаем:

\[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \] и \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \]

Таким образом, совокупное решение уравнения:

\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k \] или \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), где \(k\) - целое число.