Question

Помогите пожалуйста)) Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию y=x^2 ln x

Answer 1

Для начала найдем производную функции
y'=(x^2)'*ln x+x^2*(ln x)'
y'=2x*ln x+x^2*(1/x)
y'=2x*ln x+x
Что бы найти экстремумы приравняем производную к нулю
2x*ln x+x=0
x(2*ln x+1)=0    
2*ln x+1=0    x=0 это первый корень
2*ln x=-1
ln x= -1/2
x= e^(-1/2)
x=1/√e
получаем два корня x=0 и x=1/√e
Начертим график и посчитаем интервалы монотонности
Так как у нас ln x то область определения y'  x>0 по этому за ее пределами мы знаки не считаем
Исходя из графика видно, что при x э (0;1/√e) функция убывает т.к. производная на данном интервале отрицательная, а на интервале (1/√e;+∞) функция возрастает т.к. производная на данном интервале положительная.
У нас имеется одна точка экстремума x=1/√e, и она является точкой минимума так как в ней производная меняет знак с - на +, то есть функция перестает убывать и начинает расти.

Answer 2

Для исследования на монотонность и экстремумы функции y = x^2 + ln(x) нужно проанализировать ее производные и вторую производную.

1. Найдем первую производную функции: y' = 2x + 1/x

2. Чтобы найти точки экстремума, приравняем первую производную к нулю и решим уравнение: 2x + 1/x = 0

Умножим уравнение на x, чтобы избавиться от дроби: 2x^2 + 1 = 0

Решим это квадратное уравнение: 2x^2 = -1 x^2 = -1/2

Квадратный корень из отрицательного числа не существует в вещественных числах, поэтому у функции нет точек экстремума.

3. Теперь проанализируем знаки первой производной и найдем интервалы монотонности функции.

Для этого составим таблицу знаков: x < -√(1/2) | -√(1/2) < x < 0 | 0 < x ------------------------------------------------- 2x + 1/x > 0 | - | + | + 2x + 1/x < 0 | + | - | -

Из таблицы видно, что на интервале (-∞, -√(1/2)) функция убывает, на интервале (-√(1/2), 0) функция возрастает, а на интервале (0, +∞) она также возрастает.

4. Найдем вторую производную функции: y'' = 2 - 1/x^2

5. Чтобы исследовать наличие точек перегиба, приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение: 2 - 1/x^2 = 0

Умножим уравнение на x^2: 2x^2 - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение: 2x^2 = 1 x^2 = 1/2 x = ±√(1/2)

Теперь составим таблицу знаков для второй производной: x < -√(1/2) | -√(1/2) < x < √(1/2) | √(1/2) < x ------------------------------------------------- 2 - 1/x^2 > 0 | + | - | + 2 - 1/x^2 < 0 | - | + | -

Из таблицы видно, что на интервале (-∞, -√(1/2)) функция выпукла вверх, на интервале (-√(1/2), √(1/2)) функция выпукла вниз, а на интервале (√(1/2), +∞) она снова выпукла вверх.

Таким образом, исследование функции y = x^2 + ln(x) на монотонность и экстремумы показало, что у нее нет точек экстремума, она убывает на интервале (-∞, -√(1/2)), возрастает на интервале (-√(1/2), 0) и возрастает на интервале (0, +∞). Также функция имеет точку перегиба при x = ±√(1/2), где она выпукла вниз и выпукла вверх соответственно.