Question

Найти сумму последовательности 1/6 + 1/12 + ... + 1/((n + 1) (n + 2))

Answer 1

$\displaystyle \dfrac{1}{2\cdot 3}+ \frac{1}{3\cdot 4}+...+ \frac{1}{(n+1)(n+2)} =\\ \\ \\ = \frac{3-2}{2\cdot 3} + \frac{4-3}{3\cdot 4} +...+ \frac{n+2-(n+1)}{(n+1)(n+2)} =\\ \\ \\ = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} +\frac{1}{3}-\frac{1}{4} +...+ \frac{1}{n+1} -\frac{1}{n+2} =\frac{1}2}- \frac{1}{n+2}$

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим данную последовательность:

1/6, 1/12, 1/((n+1)+(n+2)), ...

Мы можем заметить, что каждый следующий член последовательности представляет собой обратное значение суммы двух последовательных чисел, увеличенных на 1.

Теперь давайте преобразуем это выражение, чтобы найти общую формулу для n-го члена последовательности:

1/((n+1)+(n+2)) = 1/(2n+3)

Теперь мы можем найти сумму данной последовательности:

S = 1/6 + 1/12 + 1/(2*1+3) + 1/(2*2+3) + ... + 1/(2n+3)

Мы можем заметить, что данная последовательность представляет собой сумму ряда с общим членом 1/(2n+3).

Для нахождения суммы данного ряда мы можем использовать формулу для суммы ряда:

S = a/(1-r)

где a - первый член ряда, r - знаменатель пропорции между соседними членами ряда.

В нашем случае a = 1/6 и r = 1/2.

Таким образом, мы можем записать сумму последовательности:

S = (1/6)/(1 - 1/2) = (1/6)/(1/2) = (1/6)*(2/1) = 1/3

Итак, сумма данной последовательности равна 1/3.