Question

Многочлены и одночлены что это такое и как это решать

Answer 1

3а (2,5а3), (5ab2) • (0,4c3d) • 3/4 – это одночлены, выражение a + b одночленом не является, т. к. содержит в себе операцию сложения. Каждый одночлен можно привести к стандартному виду, т. е. представить его в виде произведения числового множителя, стоящего на 1м месте, и степеней различных переменных. Стандартный вид одночлена: числовой множитель + переменная (например, 5а) , где числовой множитель называется коэффициентом одночлена, т. е. в одночлене 5а 5 является коэффициентом одночлена. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех переменных. Произведением исходных одночленов называются все одночлены, записанные со знаком умножения между ними: 3а • (2,5а3).Закрепим материал. Пример. Привести к стандартному виду одночлен 3а (2,5а3).Решение. 1. Стандартный вид одночлена подразумевает наличие коэффициента и переменной, т. е. наш многочлен должен принять вид Ха, где Х – коэффициент, а а – переменная. 2. Сгруппируем элементы так, чтобы отдельно оказались числа, отдельно – переменные (для этого нам нужно воспользоваться законами умножения) : 3а (2,5а3) = (3 • 2,5) • (а • а3) = 7,5 • а4 = 7,5а4, т. е. мы привели одночлен 3а (2,5а3) к его стандартному виду 7,5а4.Ответ. 7,5а4.Одночлены, которые мы получили, т. е. одночлены стандартного вида, называются подобными, а сложение и вычитание таких одночленов называется приведением подобных. Многочлен представляет собой сумму одночленов. Стандартным видом многочлена является многочлен, полученный в результате приведения всех одночленов к стандартной форме и приведения подобных. Пример. Приведем к стандартному виду многочлен (3a + 5b – 2c) + (2a – b + 4c).Решение. 1. Раскроем скобки. Перед обоими скобками стоит знак «+», поэтому знаки не меняются. Выражение примет вид: 3a + 5b – 2c + 2a – b + 4c.2. Приведем подобные: 3a + 2a + 5b – b – 2c + 4c = 5a + 4b + 2c.Ответ: 5a + 4b + 2c.Иногда для приведения многочлена к стандартному виду мы можем воспользоваться формулами сокращенного умножения, основанными на тождестве. Эти формулы необходимо запомнить, чтобы впоследствии ими можно было оперативно пользоваться. 1. (а + b)(а – b) = а2 – b2.2. (а + b)2 = а2 + 2аb + b2.3. (а – b)2 = а2 – 2аb + b2.4. (а + b)(а2 – аb + b2) = а3 + b3.5. (а – b) (а2 + аb + b2) = а3 – b3.6. (а + b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3.7. (а – b)3 = а3 – 3а2b + 3аb2 – b3.Рассмотрим несколько примеров на использование формул сокращенного умножения. Пример 1.(3х2 + 4y3)(3х2 – 4y3).Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения № 1. Получится, что перед нами «развернутая» разность квадратов, которую нужно «свернуть» в формулу: (3х2 + 4y3)(3х2 – 4y3) = (3х2)2 – (4y3) 2 = 9х4 – 16y6.Т. о. , (3х2 + 4y3)(3х2 – 4y3) = 9х4 – 16y6.Пример 2.(a + b – c) (a + b + c).Решение. 1. Сгруппируем компоненты в скобках так, чтобы получить разность квадратов:
(a + b – c) (a + b + c) = ((a + b) – c)((a + b) + c).
2. «Свернем» формулу разности квадратов и получим:
((a + b) – c)((a + b) + c) = (a + b)2 – с2.3. Раскроем скобки:
(a + b)2 – с2 = а2 + 2аb + b2 – с2.Т. о. , (a + b – c)(a + b + c) = а2 + 2аb + b2 – с2.Пример 3.(3а + 1)(9а2 – 3а + 1).Решение. Воспользуемся формулой №4 – формулой суммы кубов и «свернем» наше выражение:
(3а + 1)(9а2 – 3а + 1) = (3а) 3 + 1 = 27а3 + 1.Т. о. , (3а + 1)(9а2 – 3а + 1) = 27а3 + 1.
[ссылка появится после проверки модератором]

Answer 2

Многочлены и одночлены - это математические выражения, состоящие из переменных и констант, объединенных операциями сложения, вычитания и умножения. Давайте рассмотрим оба эти понятия более подробно.

Многочлены:

Многочлен - это алгебраическое выражение, состоящее из суммы или разности одночленов. Он имеет следующий вид:

\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 \]

где: - \(P(x)\) - многочлен переменной \(x\), - \(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) - коэффициенты многочлена, - \(n\) - степень многочлена (целое неотрицательное число).

Пример многочлена: \[ P(x) = 3x^2 - 2x + 5 \]

Одночлены:

Одночлен - это многочлен, который состоит из одного слагаемого. Он имеет следующий вид:

\[ ax^n \]

где: - \(a\) - коэффициент одночлена, - \(x\) - переменная, - \(n\) - степень одночлена (целое неотрицательное число).

Примеры одночленов: - \( 2x^3 \) - \( -5x \) - \( 7 \)

Решение задач с многочленами и одночленами:

1. Сложение и вычитание многочленов: - Сложение и вычитание многочленов выполняется поочередно слагаемое за слагаемым.

2. Умножение многочлена на число: - Умножение каждого члена многочлена на заданное число.

3. Умножение многочлена на одночлен: - Распределение одночлена на каждый член многочлена.

4. Факторизация многочленов: - Разложение многочлена на простейшие множители.

5. Нахождение корней многочлена: - Решение уравнения \(P(x) = 0\) для определения корней многочлена.

6. Деление многочлена: - Применение алгоритма деления многочленов.

7. Определение степени многочлена: - Определение наивысшей степени переменной в многочлене.

Решение конкретной задачи зависит от поставленной задачи и конкретного многочлена или одночлена, с которым вы работаете. Если у вас есть конкретный вопрос или пример, я могу помочь с более конкретным объяснением.