Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями! 1) y=9- x^2 с осью OX 2) y=1/2 x^2, x+y-4=0

Answer 1

Вложение ...............................................................

Answer 2

1) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 9 - x^2 и осью OX, необходимо найти точки пересечения этих линий.

Поставим уравнение y = 9 - x^2 равным нулю и решим его относительно x: 9 - x^2 = 0 x^2 = 9 x = ± √9 x = ± 3

То есть, фигура ограничена линиями x = -3 и x = 3.

Для вычисления площади этой фигуры, можно использовать интеграл. Площадь фигуры будет равна интегралу от функции y = 9 - x^2 в пределах от -3 до 3:

S = ∫[a,b] (9 - x^2) dx

где a = -3 и b = 3.

Рассчитаем этот интеграл:

S = ∫[-3,3] (9 - x^2) dx S = [9x - (x^3)/3] от -3 до 3 S = [9(3) - (3^3)/3] - [9(-3) - (-3^3)/3] S = [27 - 9] - [-27 + 9] S = 18 + 18 S = 36

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 9 - x^2 и осью OX, равна 36 квадратных единиц.

2) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 1/2 + x^2 и x + y - 4 = 0, также необходимо найти точки пересечения этих линий.

Поставим уравнение y = 1/2 + x^2 равным уравнению x + y - 4 = 0 и решим его относительно x и y: 1/2 + x^2 = -x + 4 2 + 2x^2 = -2x + 8 2x^2 + 2x - 6 = 0 x^2 + x - 3 = 0

Решим это квадратное уравнение:

x = (-1 ± √(1 - 4*1*(-3))) / (2*1) x = (-1 ± √(1 + 12)) / 2 x = (-1 ± √13) / 2

Таким образом, фигура ограничена линиями x = (-1 - √13) / 2 и x = (-1 + √13) / 2.

Для вычисления площади этой фигуры, также можно использовать интеграл. Площадь фигуры будет равна интегралу от функции y = 1/2 + x^2 в пределах от (-1 - √13) / 2 до (-1 + √13) / 2:

S = ∫[a,b] (1/2 + x^2) dx

где a = (-1 - √13) / 2 и b = (-1 + √13) / 2.

Рассчитаем этот интеграл:

S = ∫[(-1 - √13) / 2,(-1 + √13) / 2] (1/2 + x^2) dx S = [x/2 + (x^3)/3] от [(-1 - √13) / 2,(-1 + √13) / 2] S = [(((-1 + √13) / 2)/2) + (((-1 + √13) / 2)^3)/3] - [(((-1 - √13) / 2)/2) + (((-1 - √13) / 2)^3)/3]

Вычислять этот интеграл вручную довольно сложно, поэтому результат можно получить, используя численные методы. Например, можно воспользоваться интегрированием по методу прямоугольников или методу трапеций.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1/2 + x^2 и x + y - 4 = 0, можно вычислить численными методами.