Question

Составить уравнения общих касательных к графикам функций у=((x-1)^3)*32/9 и y=x^2

Answer 1

1) f(x)=(32/9)*(x-1)^3, уравнение касательной в какой-либо точке x1:
    y1=f(x1)+f '(x1)(x-x1) = f '(x1)x +f(x1) -f '(x1)x1
    f(x1)=(32/9)(x1-1)^2, f '(x) =(32/9)*3(x-1)^2 =(32/3)(x-1)^2, 
    f '(x1)=(32/3)(x1-1)^2
2) f(x)=x2,  уравнение касательной в какой-либо точке x2:
    y2=f(x2)+f '(x2)(x-x2) = f '(x2)x +f(x2) -f '(x2)x2
    f(x2)=(x2)^2, f '(x)=2x, f '(x2)=2(x2)
Если касательные общие, значит y1=y2, 
значит должны быть равны коэфф. перед x и свободные члены,
получаем систему уравнений с 2 неизвестными:
    f '(x1)=f '(x2), f(x1) -f '(x1)x1=f(x2) -f '(x2)x2
    1. (32/3)(x1-1)^2=2(x2); 2. (32/9)*(x1-1)^3 -x1*(32/3)(x1-1)^2=(x2)^2 -2(x2)^2
    1. ((32/3)(x1-1)^2)/(x2)^2 =2; 2.(((32/3)(x1-1)^2)/(x2)^2)((x1-1)/3 -x1)= -(x2)^2;
    подставляя первое в 2, из второго уравнения получаем:
    2(x1-1-3x1)/3 = -x2, 2(2x1+1)/3= x2, подставляем в 1.
    ((32/3)(x1-1)^2=4(2x1+1)/3, 8(x1^2 -2x1+1)=2x1+1,
    8x1^2-18x1+7=0, x1=(18+-√100)/16, x1=1/2, x1=7/4
Теперь найдем уравнения касательной y1, они же будут равны =y2:
1. x1=1/2, f(x1)=(32/9)(1/2 -1)^3=(32/9)(-1/2)^3=(32/9)(-1/8)= -4/9
    f '(x1)=(32/3)(1/2 -1)^2=(32/3)(1/4) = 8/3
    y1= -4/9 + (8/3)(x-1/2) = -4/9 +(8/3)x -8/6, обозначим y1 просто y:
   18y=48x-32, 9y=24x-16 - первое уравнение общей касательной
2. x1=7/4, f(x1)=(32/9)(7/4 -1)^3 = (32/9)(3/4)^3=(32/9)(27/64)=3/2,
    f '(x1)=(32/3)(7/4 -1)^2= (32/3)(3/4)^2=(32/3)(9/16)= 6
    y1=3/2 +6(x -7/4)=3/2+6x -21/2=6x-9, обозначим y1 просто y:
   y=6x -9 - второе уравнение общей касательной
     

Answer 2

Для составления уравнений общих касательных к графикам функций y = ((x-1)^3)*32/9 и y = x^2, мы должны найти точки пересечения этих двух функций.

1. Найдем точки пересечения: ((x-1)^3)*32/9 = x^2

Раскроем скобки в левой части: ((x^3 - 3x^2 + 3x - 1)*32)/9 = x^2

Упростим выражение: 32x^3 - 96x^2 + 96x - 32 = 9x^2

Перенесем все члены в одну сторону: 32x^3 - 105x^2 + 96x - 32 = 0

2. Решим это уравнение для нахождения точек пересечения. Хотя это кубическое уравнение, мы можем использовать численные методы или графический метод для его решения. Предположим, что мы нашли две точки пересечения: (a, ((a-1)^3)*32/9) и (b, b^2).

3. Теперь мы можем составить уравнение общей касательной в точке (a, ((a-1)^3)*32/9) к функции y = ((x-1)^3)*32/9.

Формула общей касательной: y - y1 = m(x - x1),

где (x1, y1) - точка, в которой касательная касается графика функции, а m - ее угловой коэффициент.

Найдем производную от функции y = ((x-1)^3)*32/9: y' = (96(x-1)^2)/9 = (32(x-1)^2)/3

Подставим точку (a, ((a-1)^3)*32/9) в уравнение касательной: y - ((a-1)^3)*32/9 = (32(a-1)^2)/3 * (x - a)

Таким образом, уравнение общей касательной к функции y = ((x-1)^3)*32/9 в точке (a, ((a-1)^3)*32/9) будет: y - ((a-1)^3)*32/9 = (32(a-1)^2)/3 * (x - a).

Аналогично, мы можем составить уравнение общей касательной к функции y = x^2 в точке (b, b^2).