Question

Найдите предел lim( √(n^2+1)-√(n^2-1) ) n→+∞

Answer 1

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \big( \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1}\big)= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+1-n^2+1}{ \sqrt{n^2+1}+ \sqrt{n^2-1} }=\\ \\ \\ =2\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n} }{ \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} }+ \sqrt{1- \frac{1}{n^2} } } =0$

Answer 2

Для нахождения предела lim(√(n^2+1)-√(n^2-1)) при n → ∞, мы можем воспользоваться методом рационализации.

Для этого, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение √(n^2+1)+√(n^2-1):

lim(√(n^2+1)-√(n^2-1)) * (√(n^2+1)+√(n^2-1)) --------------------------------------------------- (√(n^2+1)+√(n^2-1))

Теперь, применим алгебраическое тождество (a^2 - b^2) = (a + b)(a - b) к числителю:

lim((√(n^2+1)-√(n^2-1)) * (√(n^2+1)+√(n^2-1))) --------------------------------------------------- (√(n^2+1)+√(n^2-1))

lim((n^2+1) - (n^2-1)) --------------------- (√(n^2+1)+√(n^2-1))

Теперь, упростим числитель и знаменатель:

lim(2) ------ (√(n^2+1)+√(n^2-1))

Поскольку n стремится к бесконечности, (√(n^2+1)+√(n^2-1)) также будет стремиться к бесконечности. Поэтому, предел будет равен:

lim(2) ------ ∞

Таким образом, предел lim(√(n^2+1)-√(n^2-1)) при n → ∞ равен 0.