Question

Cократите дробь : 1)(x^4-16): (x+2) 2) (27x^3-125): (9x^2-25)

Answer 1

$\frac{x^4-16}{x+2} = \frac{(x^2+4)(x+2)(x-2)}{x+2} =(x^2+4)(x+2) \\\ \frac{27x^3-125}{9x^2-25} = \frac{(3x-5)(9x^2+15x+25)}{(3x-5)(3x+5)} = \frac{9x^2+15x+25}{3x+5}$

Answer 2

Конечно, я помогу. Давай разберём этот пример шаг за шагом.

У нас есть дробь: \(\frac{{x^4 - 16}}{{x + 2}} + \frac{{27x^3 - 125}}{{9x^2 - 25}}\).

Сначала факторизируем \(x^4 - 16\) как разность квадратов и \(27x^3 - 125\) как разность кубов:

\(x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)\)

\(27x^3 - 125 = (3x - 5)(9x^2 + 15x + 25)\)

Теперь рассмотрим знаменатели:

\(x + 2\) и \(9x^2 - 25\) также могут быть факторизированы как разность квадратов и равняются \((x + 2)(3x + 5)(3x - 5)\).

Теперь заменим исходные дроби:

\(\frac{{x^4 - 16}}{{x + 2}} + \frac{{27x^3 - 125}}{{9x^2 - 25}} = \frac{{(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)}}{{(x + 2)(3x + 5)(3x - 5)}} + \frac{{(3x - 5)(9x^2 + 15x + 25)}}{{(x + 2)(3x + 5)(3x - 5)}}\)

Теперь объединим обе дроби с общим знаменателем:

\(\frac{{(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2) + (3x - 5)(9x^2 + 15x + 25)}}{{(x + 2)(3x + 5)(3x - 5)}}\)

Раскроем скобки в числителе в первой дроби:

\(x^2(x + 2)(x - 2) + 4(x + 2)(x - 2) + 27x^3 - 45x^2 + 45x - 75\)

Теперь объединим все члены числителя:

\(x^4 - 2x^2 + 4x - 8 + 27x^3 - 45x^2 + 45x - 75\)

Сгруппируем члены:

\(x^4 + 27x^3 - 47x^2 + 49x - 83\)

Таким образом, сокращённая дробь будет:

\(\frac{{x^4 + 27x^3 - 47x^2 + 49x - 83}}{{(x + 2)(3x + 5)(3x - 5)}}\).