Question

Решить несобственный интеграл или доказать его расходимость a - + бесконечность b - минус бесконечность

Answer 1

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{-\infty} { \frac{dx}{x^2+2x+3} } =\int\limits^{+\infty}_{-\infty} \frac{dx}{(x+1)^2+2} = \left\{\begin{array}{ccc}x+1=t\\ dx=dt\end{array}\right\}=\int\limits^{+\infty}_{-\infty} \frac{dt}{t^2+2} =\\ \\ \\ =\int\limits^{+\infty}_{-\infty} \frac{dt}{t^2+(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{ \sqrt{2} } arctg \frac{t}{ \sqrt{2} } \bigg|^{+\infty}_{-\infty}= \frac{ \pi }{ 2\sqrt{2} } +\frac{ \pi }{2 \sqrt{2} } =\frac{ \pi }{ \sqrt{2} }$

Answer 2

Чтобы решить несобственный интеграл, необходимо сначала определить его сходимость или расходимость.

Для этого мы должны проанализировать поведение подинтегральной функции на бесконечности. Если интеграл сходится, то значение интеграла будет конечным. Если же интеграл расходится, то значение интеграла будет бесконечным или неопределенным.

Для примера, рассмотрим несобственный интеграл ∫[a, b] f(x) dx, где a = -∞ и b = +∞.

Если при x → -∞ функция f(x) стремится к некоторому конечному пределу, то мы можем заменить нижний предел интегрирования на этот предел, и интеграл будет считаться сходящимся.

Если же при x → -∞ функция f(x) стремится к бесконечности или не имеет предела, то интеграл будет расходиться.

Аналогично, мы можем рассмотреть предел функции f(x) при x → +∞. Если функция стремится к конечному пределу, то интеграл будет сходящимся. Если функция стремится к бесконечности или не имеет предела, то интеграл будет расходиться.

Подробное решение несобственного интеграла требует знания функции f(x). Без конкретной функции невозможно дать точный ответ на сходимость или расходимость интеграла.