Question

Упростите: sinL +sin 3L + sin 5L / cos L + cos 3L + cos 5L используя формулы преобразования суммы в произведение

Answer 1

(sin3a+2sin3acos2a)/(cos3a+2cos3acos2a)=tg3a(1+2cos2a)/(1+2cos2a)=tg3a

Answer 2

Упрощение выражения sinL + sin 3L + sin 5L / cos L + cos 3L + cos 5L

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться формулой преобразования суммы синусов и косинусов в произведение:

Формула преобразования суммы синусов:

sin(A) + sin(B) = 2 * sin((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

Формула преобразования суммы косинусов:

cos(A) + cos(B) = 2 * cos((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

Применяя эти формулы к нашему выражению, получим:

sinL + sin 3L + sin 5L = 2 * sin((L + 3L)/2) * cos((L - 3L)/2) + sin 5L

cos L + cos 3L + cos 5L = 2 * cos((L + 3L)/2) * cos((L - 3L)/2) + cos 5L

Теперь, заменим sinL + sin 3L + sin 5L и cos L + cos 3L + cos 5L в исходном выражении с использованием этих формул:

(sinL + sin 3L + sin 5L) / (cos L + cos 3L + cos 5L) = (2 * sin((L + 3L)/2) * cos((L - 3L)/2) + sin 5L) / (2 * cos((L + 3L)/2) * cos((L - 3L)/2) + cos 5L)

Заметим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель 2 * cos((L + 3L)/2) * cos((L - 3L)/2). Мы можем сократить его:

(sinL + sin 3L + sin 5L) / (cos L + cos 3L + cos 5L) = (2 * sin((L + 3L)/2) * cos((L - 3L)/2) + sin 5L) / (2 * cos((L + 3L)/2) * cos((L - 3L)/2) + cos 5L)

= (sin((L + 3L)/2) * cos((L - 3L)/2) + 1/2 * sin 5L) / (cos((L + 3L)/2) * cos((L - 3L)/2) + 1/2 * cos 5L)

Таким образом, выражение sinL + sin 3L + sin 5L / cos L + cos 3L + cos 5L может быть упрощено до (sin((L + 3L)/2) * cos((L - 3L)/2) + 1/2 * sin 5L) / (cos((L + 3L)/2) * cos((L - 3L)/2) + 1/2 * cos 5L).

Это является упрощенной формой исходного выражения.