Question

Постройте график функции y=|x-1|-|x+1|+x и найдите все значения k, при которых прямая y=kx имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Answer 1

f(x)=|x-1|-|x+1|+x
Обзозначим график функции, как ломаную линию с отрезками
 [CA]-[AB]-[BD] (cм. чертеж во вложении), где [AB] пересекает точку начала координат О: [AO]=(OB],
[CA] II [BD], т.к. A(-1;1) B(-3;-1)
                          C(-3;-1) D(3;1)
Вычислим k прямой y=kx, проходящей через точки А и В:
А(-1;1) => 1=k*(-1) => k=-1
     Вложение: таблицы и графики
B(1;-1) => -1=k*1 => k=-1
     Прямая а, проходящая через точки А,О,В имеет вид у=-х
Прямая b, параллельная [AC] и [BD]  и перпендикулярная прямой а,
имеет вид у=х (k=1).
     В уравнении у=kx которая имеет с графиком данной функции только одну общую точку, k≠-1; k≠0; k≤1
k∈(-1;0)∪(0;1]

Answer 2

Для начала, построим график функции y = |x-1| - |x+1| + x.

Функция y = |x-1| - |x+1| + x может быть представлена в виде трёх отдельных функций на разных интервалах: 1) y = -(x-1) - (x+1) + x = -2 на интервале x < -1 2) y = (x-1) - (x+1) + x = -2 на интервале -1 ≤ x < 1 3) y = (x-1) + (x+1) + x = 3x на интервале x ≥ 1

Теперь построим график каждой из этих функций: 1) Для интервала x < -1 график будет горизонтальной прямой, проходящей на высоте y = -2. 2) Для интервала -1 ≤ x < 1 график будет вертикальной прямой, проходящей на высоте y = -2. 3) Для интервала x ≥ 1 график будет прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом k = 3.

Теперь найдём значения k, при которых прямая y = kx имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

1) Для интервала x < -1 прямая y = kx не пересекает график функции, поэтому на этом интервале нет таких значений k. 2) Для интервала -1 ≤ x < 1 прямая y = kx пересекает график функции в единственной точке, если она проходит через точку (-1, -2). Значит, k = -2. 3) Для интервала x ≥ 1 прямая y = kx пересекает график функции в единственной точке, если она проходит через точку (1, 3). Значит, k = 3.

Итак, значения k, при которых прямая y = kx имеет с графиком функции y = |x-1| - |x+1| + x ровно одну общую точку, равны -2 и 3.