Question

Составте уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абциссой x=а, если а)f(x)=ctg 2x,a=п/4 б)f(x)=2tg x/3, a=0

Answer 1

A
y(π/4)=ctgπ/2=0
y`=-2/sin²2x
y`(π/4)=-2/sin²π/2=-2
y=0-2(x-π/4)=-2x+π/2
b
f(0)=2tg0=0
f`(x)=2/[3cos²(x/3)]
f`(0)=2/3
y=0+2/3(x-0)=2/3x

Answer 2

а) Для функции f(x) = ctg(2x) и точки с абсциссой x = a = π/4, найдем значение функции в этой точке и значение ее производной.

f(a) = ctg(2π/4) = ctg(π/2) = 0

Производная функции f(x) = ctg(2x) равна:

f'(x) = -2csc^2(2x)

Теперь найдем значение производной в точке a:

f'(a) = -2csc^2(2π/4) = -2csc^2(π/2) = -2 * (1/sin^2(π/2)) = -2

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = f(x) = ctg(2x) в точке с абсциссой x = a = π/4 имеет вид:

y - f(a) = f'(a)(x - a) y - 0 = -2(x - π/4) y = -2x + π/2

б) Для функции f(x) = 2tg(x/3) и точки с абсциссой x = a = 0, найдем значение функции в этой точке и значение ее производной.

f(a) = 2tg(0/3) = 2tg(0) = 0

Производная функции f(x) = 2tg(x/3) равна:

f'(x) = 2sec^2(x/3) * (1/3)

Теперь найдем значение производной в точке a:

f'(a) = 2sec^2(0/3) * (1/3) = 2sec^2(0) * (1/3) = 2 * (1/cos^2(0)) * (1/3) = 2 * (1/1) * (1/3) = 2/3

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = f(x) = 2tg(x/3) в точке с абсциссой x = a = 0 имеет вид:

y - f(a) = f'(a)(x - a) y - 0 = (2/3)(x - 0) y = (2/3)x