Question

Пожалуйста, решите уравнение! Не один день бьюсь над ним!

Answer 1

Здесь нужно воспользоваться двумя формулами:
1) формула приведения:
$sin( \frac{ \pi }{2}-a)=cosa$

2) sin(-a)=-sina

Решение:

$sin( 2x-\frac{ \pi }{2})=- \frac{1}{2} \\ \\ sin( -(\frac{ \pi }{2}-2x))=- \frac{1}{2} \\ \\ -sin( \frac{ \pi }{2}-2x)=- \frac{1}{2} \\ \\ sin( \frac{ \pi }{2}-2x)= \frac{1}{2} \\ \\ cos2x= \frac{1}{2} \\ \\ 2x=^+_- \frac{ \pi }{3} +2 \pi n \\ \\ x=^+_- \frac{ \pi }{6}+ \pi n, n \in Z$

нас интересует промежуток начиная с нуля, поэтому отрицательные корни можно отбросить. Оставляем только:

$x=\frac{ \pi }{6}+ \pi n$

теперь вместо n подставляем числа, начиная с нуля:

$1) n=0, \ \ x=\frac{ \pi }{6}+ \pi *0=\frac{ \pi }{6}$
π/6 входит в наш промежуток

$2) \ n=1, \ \ x=\frac{ \pi }{6}+ \pi *1=\frac{ \pi }{6}+ \pi = \frac{7 \pi }{6}$
7π/6 входит так как находится в 3-ей четверти

$3) n=2, \ \ x=\frac{ \pi }{6}+ \pi*2=\frac{ \pi }{6}+ 2\pi= \frac{13 \pi }{6}$
Не подходит, так как угол 13π/6 > 3π/2

$OTBET: \ \frac{ \pi }{6}; \ \frac{ 7\pi }{6}$

Answer 2

$sin(2x-\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{2}\; ,\; \; x\in (0;\frac{3\pi}{2}\, ]\\\\2x-\frac{\pi}{2}=(-1)^{n}\cdot (-\frac{\pi}{6})+\pi n=(-1)^{n+1}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\2x=\frac{\pi}{2}+(-1)^{n+1}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{4}+(-1)^{n+1}\cdot \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z\; \; \; ili\\\\x= \left [ {{\frac{\pi}{6}+\pi n\;,\; n\in Z} \atop {-\frac{\pi}{6}+\pi m\; ,\; m\in Z}} \right.$

$x\in (0;\frac{3\pi}{2}\, ]\; :\\\\x= \frac{\pi}{6} \; ,\; \frac{7\pi}{6}\; .$