Question

Докажи, что последовательность возрастает: dn=8n/(n+1)

Answer 1

Последовательность возрастает, если
$d_{n+1}\ \textgreater \ d_n$
Докажем, что
$\frac{8(n+1)}{(n+1)+1}\ \textgreater \ \frac{8n}{n+1}$
Рассмотрим разность

$\frac{8(n+1)}{(n+1)+1}- \frac{8n}{n+1}=\frac{8(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}- \frac{8n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{8(n+1)(n+1)-8n(n+2)}{(n+1)(n+2)}= \\ \\ =\frac{8n^2+16n+8-8n^2-16n}{(n+1)(n+2)}=\frac{8}{(n+1)(n+2)}\ \textgreater \ 0$

Значит,
$\frac{8(n+1)}{(n+1)+1}\ \textgreater \ \frac{8n}{n+1}$