Question

Решите пожалуйста уравнение аналитически и графически неравенство: | x^2- 1 | <3

Answer 1

Графиком у=х^2-1
Является парабола ветви которой направлены вверх(коэффициент при х^2=1>0)
Вершина параболы:
Х= -b/2a.
x=0/2=0 y= -1. A(0;-1)
точки пересечения с осью ОХ
0=х^2-1
Х=1 Х= -1. В(1;0) С(-1;0)
Когда построишь параболу через эти точки, ты часть которая находится ниже оси ОХ нужно отобразить относительно оси ОХ те точкаА должна отобразится в точку А1(0;1)
У=3
Это прямая параллельная оси Ох и отстающая от неё на 3 единицы вверх.
Прямая у=3 пересечёт график у=|х^2-1| в двух точках, из них опусти перпендикуляры на ось Х.
Нам нужна часть графика которая расположена под прямой у=3
Те Х это от одной точки пересечения до второй.
-2<Х<2

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение аналитически, нужно рассмотреть два случая: x^2 - 1 > 0 и x^2 - 1 < 0.

1. При x^2 - 1 > 0: Так как выражение внутри модуля положительное, то модуль можно удалить: x^2 - 1 < 3 x^2 < 4 -2 < x < 2

2. При x^2 - 1 < 0: Так как выражение внутри модуля отрицательное, модуль становится положительным: -(x^2 - 1) < 3 -x^2 + 1 < 3 -x^2 < 2 x^2 > -2 Так как квадрат числа всегда положителен, то данное неравенство выполняется при любом значении x.

Итак, общее решение неравенства |x^2 - 1| < 3: -2 < x < 2.

Чтобы решить данное уравнение графически, нужно построить график функции |x^2 - 1| и найти все значения x, для которых значение функции меньше 3.

На графике мы видим, что функция имеет перегиб в точке (0, -1) и асимптоту у=1. Отсюда мы можем заключить, что значения функции отрицательные при x < -1 и x > 1. Значения функции положительные при -1 < x < 1.

Таким образом, значения функции на всей числовой прямой имеют модуль меньше 3.

Графическое решение соответствует аналитическому решению: -2 < x < 2.