Question

Докажите неравенство. a^2 + b^2 + 20 - 2a + 2b > 0

Answer 1

Предположим, что а это переменная, а b это какое-то конкретное число.
Тогда имеем квадратное уравнение.
a²-2a+(b²+2b+20)>0
Данное неравенство выполняется если D дискриминант меньше 0.
D=4-4(b²+2b+20)=4-4b²-8b-80=-4b²-8b-76
-4(b²+2b+19)<0
b²+2b+19>0
D=4-19*4=-72 <0 следовательно  b²+2b+19>0 всегда, а значит
a²-2a+(b²+2b+20)>0 всегда

Answer 2

Неравенство a^2 + b^2 + 20 - 2a + 2b > 0 можно доказать следующим образом:

1. Распишем левую часть неравенства: a^2 + b^2 + 20 - 2a + 2b

2. Перегруппируем слагаемые: (a^2 - 2a) + (b^2 + 2b) + 20

3. Добавим и вычтем одно и то же число (a^2 + 2a + 1) в первой скобке и (b^2 + 2b + 1) во второй скобке: (a^2 - 2a + 1 - 1) + (b^2 + 2b + 1 - 1) + 20

4. Преобразуем выражения внутри скобок: (a - 1)^2 + (b + 1)^2 + 20

5. Теперь видно, что левая часть неравенства представляет собой сумму двух квадратов, которая всегда неотрицательна. Поэтому, чтобы неравенство выполнялось, необходимо и достаточно, чтобы 20 было положительным числом.

Таким образом, неравенство a^2 + b^2 + 20 - 2a + 2b > 0 выполняется при условии, что 20 > 0.