Question

Если радиус круга увеличить в 2 раза, затем уменьшить на 1 см, то его площадь увеличится на πсм2. Найдите радиус круга. Из ранних заданий дано было может быть пригодится S=πr^2

Answer 1

Конечно, пригодится.

Пусть изначальный радиус круга равен r. Тогда его площадь $(S_0)$ равна

$S_0 = \pi r^2$

Новый радиус тогда равен $2r-1$ квадратным сантиметрам, а площадь нового круга $(S_1)$ равна

$S_1 = \pi (2r-1)^2$

 

Также из условия знаем, что $S_1 = S_0 + \pi$

Подставим найденные ранее значения площадей:

$\pi (2r-1)^2 = \pi r^2 + \pi$

 

Поделим на $\pi$

$(2r-1)^2 = r^2 +1$

 

Раскроем скобки:

$4r^2-4r+1 = r^2+1$

$3r^2 - 4r = 0$, откуда $r_1 = 0, r_2 = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Но радиумс не может равняться нулю, так что подходит только одно решение.

 

Ответ: $1\frac{1}{3}$ cм^2

 

 

Answer 2

Давайте обозначим радиус исходного круга через \( r \). Тогда его площадь будет равна \( S = \pi r^2 \).

Если радиус увеличится в 2 раза, то новый радиус будет \( 2r \). Если затем уменьшить его на 1 см, то окончательный радиус будет \( 2r - 1 \).

Согласно условию задачи, изменение площади круга при таких манипуляциях равно \( \pi \) квадратным сантиметрам:

\[ (\pi \cdot (2r)^2) - (\pi \cdot (2r - 1)^2) = \pi \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ (\pi \cdot 4r^2) - (\pi \cdot (4r^2 - 4r + 1)) = \pi \]

\[ 4\pi r^2 - 4\pi r^2 + 4\pi r - \pi = \pi \]

\[ 4\pi r = \pi \]

Теперь делим обе стороны на \( \pi \):

\[ 4r = 1 \]

\[ r = \frac{1}{4} \]

Таким образом, исходный радиус круга \( r \) равен \( \frac{1}{4} \) см.