Question

При каких значениях параметра p уравнение x^2-2(p-1)x+4p^2=0 имеет не более одного корня

Answer 1

Х^2 - 2( р - 1 )Х + 4р^2 = 0
D = ( - 2( p - 1 ))^2 - 4•4p^2 = 4( p^2 - 2p + 1 ) - 16p^2 = 4p^2 - 8p + 4 - 16p^2 = - 12p^2 - 8p + 4
D = 0 ( один корень )
- 12р^2 - 8р + 4 = 0
- 2( 6р^2 + 4р - 2 ) = 0
D = 16 + 48 = 64 = 8^2
p1 = ( - 4 + 8 ) : 12 = 1/3
р2 = ( - 4 - 8 ) : 12 = - 1
Ответ 1/3 ; ( - 1 )

Answer 2

Уравнение x^2 - 2(p-1)x + 4p^2 = 0 имеет не более одного корня при определенных значениях параметра p. Давайте разберемся, при каких значениях это происходит.

Условие для одного корня уравнения

Уравнение x^2 - 2(p-1)x + 4p^2 = 0 имеет не более одного корня, когда дискриминант этого уравнения равен нулю. Дискриминант можно найти по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В данном случае, a = 1, b = -2(p-1) и c = 4p^2. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (-2(p-1))^2 - 4 * 1 * 4p^2

Упростим это выражение:

D = 4(p^2 - 2p + 1) - 16p^2

D = 4p^2 - 8p + 4 - 16p^2

D = -12p^2 - 8p + 4

Теперь приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение:

-12p^2 - 8p + 4 = 0

Решение уравнения для одного корня

Чтобы найти значения параметра p, при которых уравнение имеет не более одного корня, решим уравнение -12p^2 - 8p + 4 = 0. Для этого воспользуемся квадратным уравнением.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / (2a)

В нашем случае, a = -12, b = -8 и c = 4. Подставим эти значения в формулу:

p = (-(-8) ± √((-8)^2 - 4 * (-12) * 4)) / (2 * (-12))

Упростим это выражение:

p = (8 ± √(64 + 192)) / (-24)

p = (8 ± √256) / (-24)

p = (8 ± 16) / (-24)

Результаты

Решив уравнение, получим два значения параметра p:

1. p = (8 + 16) / (-24) = 24 / (-24) = -1 2. p = (8 - 16) / (-24) = -8 / (-24) = 1/3

Таким образом, уравнение x^2 - 2(p-1)x + 4p^2 = 0 имеет не более одного корня при значениях параметра p равных -1 и 1/3.