Question

Найдите область определения ф-и: y=log9(x2-13x+12)

Answer 1

$x^2-13x+12 \geq 0\\ D=13^2-4*12=169-46-121\\ x_1=\frac{13+11}{2}=12\\ x_2=\frac{13-11}{2}=1$
Смотри рисунок.
Ответ: (-бесконечность; 1] U [12; +бесконечность)

Answer 2

Функция y = log9(x^2 - 13x + 12) определена, когда значение выражения x^2 - 13x + 12 больше нуля, так как аргумент логарифма должен быть положительным числом.

Чтобы найти область определения функции, нужно решить неравенство x^2 - 13x + 12 > 0.

Для решения неравенства можно использовать метод интервалов. Сначала найдем корни квадратного уравнения x^2 - 13x + 12 = 0.

Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 1, b = -13 и c = 12.

Вычислим дискриминант:

D = (-13)^2 - 4 * 1 * 12 = 169 - 48 = 121.

Дискриминант равен 121. Если дискриминант положителен, то у уравнения есть два различных действительных корня.

x1 = (-b + √D) / 2a = (13 + √121) / 2 = (13 + 11) / 2 = 12, x2 = (-b - √D) / 2a = (13 - √121) / 2 = (13 - 11) / 2 = 1.

Теперь у нас есть два корня: x1 = 12 и x2 = 1.

Теперь разобьем числовую прямую на три интервала: (-∞, x2), (x2, x1) и (x1, +∞).

Проверим значения внутри каждого интервала, чтобы определить знак выражения x^2 - 13x + 12.

Для интервала (-∞, x2):

Подставим x = 0 (любое значение, меньшее x2) в выражение x^2 - 13x + 12:

0^2 - 13 * 0 + 12 = 12.

Выражение положительное.

Для интервала (x2, x1):

Подставим x = 5 (любое значение, между x2 и x1) в выражение x^2 - 13x + 12:

5^2 - 13 * 5 + 12 = 25 - 65 + 12 = -28.

Выражение отрицательное.

Для интервала (x1, +∞):

Подставим x = 15 (любое значение, большее x1) в выражение x^2 - 13x + 12:

15^2 - 13 * 15 + 12 = 225 - 195 + 12 = 42.

Выражение положительное.

Теперь мы знаем, что выражение x^2 - 13x + 12 > 0 для интервалов (-∞, x2) и (x1, +∞).

Таким образом, область определения функции y = log9(x^2 - 13x + 12) - это объединение этих двух интервалов:

(-∞, 1) ∪ (12, +∞).