Question

Найти первообразную f(x)=корень(0,5х+1)^3

Answer 1

$F(x)=1/2*(0,5x+1)^4+C$

Answer 2

Давайте найдем первообразную для функции \( f(x) = \sqrt{0.5x + 1}^3 \). Для этого воспользуемся методом замены переменной.

Пусть \( u = 0.5x + 1 \), тогда \( du/dx = 0.5 \). Мы можем выразить \( dx \) через \( du \): \( dx = 2du \).

Теперь подставим \( u \) и \( dx \) в выражение для функции \( f(x) \):

\[ f(x) = (\sqrt{u})^3 \cdot 2 \]

\[ f(x) = 2u^{3/2} \]

Теперь найдем первообразную для \( f(u) = 2u^{3/2} \):

\[ F(u) = \frac{2}{5}u^{5/2} + C \]

Где \( C \) - постоянная интеграции.

Теперь подставим обратно выражение для \( u \):

\[ F(u) = \frac{2}{5}(0.5x + 1)^{5/2} + C \]

Таким образом, первообразная для функции \( f(x) = \sqrt{0.5x + 1}^3 \) равна:

\[ F(x) = \frac{2}{5}(0.5x + 1)^{5/2} + C \]

Где \( C \) - произвольная постоянная.