Question

Решите неравенство log7 (x-3,5) + log7 (x-2) меньше или равно 1.

Answer 1

ОДЗ: х-3,5>0 х>3,5 log₇(x-3,5)+log₇(x-2)≤1
log₇(x-3,5)(x-2)≤1
7≥(x-3,5)(x-2)
7≥x²-2x-3,5x+7
x²-5,5x+7≤7
x²-5,5x≤0
x(x-5,5)≤0
x=0, x=5,5
+ _ +
_________0_________5,5_________ Обе точки чёрные.
Выбираем отрицательный интервал, и получится:
[0;5,5], но [0;3,5] не удовлетворяет, поэтому ответ:
(3,5;5,5].

Answer 2

ОДЗ:
$\left \{ {{x-3,5\ \textgreater \ 0} \atop {x-2\ \textgreater \ 0}} \right. \ \Leftrightarrow \ \left \{ {{x\ \textgreater \ 3,5} \atop {x\ \textgreater \ 2}} \right. \ \Leftrightarrow \ x\ \textgreater \ 3.5$

Решение:
$log_7 (x-3.5) + log_7 (x-2) \leq 1 \\ log_7[(x-3.5)(x-2)] \leq log_77 \\ (x-3.5)(x-2) \leq 7 \\ x^2-5.5x+7 \leq 7 \\ x^2-5.5x \leq 0 \\ x(x-5.5) \leq 0 \\ \\ x=0; \ x=5.5 \\ \\ ++++[0]----[5.5]++++\ \textgreater \ x \\ \\ x \in [0;5.5]$

c учетом ОДЗ:
$x \in (3.5;\ 5.5] \\ \\ OTBET: \ x \in (3.5;\ 5.5]$

Answer 3

Для решения данного неравенства, мы можем использовать свойства логарифмов и преобразования неравенств. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

Исходное неравенство: log7(x-3.5) + log7(x-2) ≤ 1

Шаг 1: Применение свойства логарифмов

Используя свойство логарифмов, мы можем объединить два логарифма с одинаковым основанием в один логарифм суммы: log7((x-3.5)(x-2)) ≤ 1

Шаг 2: Применение свойства логарифма

Мы можем преобразовать неравенство в эквивалентное уравнение, используя определение логарифма: 7^1 ≤ (x-3.5)(x-2)

Шаг 3: Упрощение

Вычислим левую часть неравенства: 7 ≤ (x-3.5)(x-2)

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 7 ≤ x^2 - 5.5x + 7

Шаг 5: Переносим все в одну сторону

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение равенства: 0 ≤ x^2 - 5.5x

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение, приравняв его к нулю: x^2 - 5.5x ≥ 0

Шаг 7: Анализ знаков

Разбиваем число промежутками, где выражение положительно или отрицательно: x(x - 5.5) ≥ 0

Теперь мы должны проанализировать знаки выражения x(x - 5.5) для определения интервалов, в которых неравенство выполняется.

Шаг 8: Анализ знаков

Составим таблицу знаков, используя значения -5.5, 0 и 5.5:

     -5.5       0        5.5
     -----------------------
x(x - 5.5) |  -   |   +   |   -

Шаг 9: Определение интервалов

Из таблицы знаков мы видим, что выражение x(x - 5.5) отрицательно на интервале (-∞, 0) и положительно на интервалах (0, 5.5) и (5.5, +∞).

Шаг 10: Ответ

Так как неравенство говорит о том, что выражение должно быть неотрицательным, мы можем сделать вывод, что x должно принадлежать интервалам (0, 5.5] и [5.5, +∞).

Таким образом, решение данного неравенства - 0 < x ≤ 5.5 или x > 5.5.