Question

18^х-8*6^х-9*2^х=0; 3*2^2х+6^х-2*3^2х=0. Пожалуйста, напишите поподробнее, чтобы было понятно, как нужно решать подобные уравнения)

Answer 1

$18^x-8*6^x-9*2^x=0\\ 9^x*2^x-8*6^x-9*2^x=0\\ 3^{2x}*2^x-8*3^x*2^x-9*2^x=0\\ 2^x(3^{2x}-8*3^x-9)=0\\ 3^x=a\\ a^2-8a-9=0\\ D=64+4*9 = 10^2\\ a_{1}=\frac{8+10}{2}=9\\ a_{2}=\frac{8-10}{2}=-1\\ 3^x=9\\ x=2$

$3*2^{2x}+6^x-2*3^{2x}=0\\ 3*2^{2x}+2^x*3^x-2*3^{2x}=0\\ (3^x+2^x)(3*2^x-2*3^x)=0\\ x=1$

Answer 2

Для решения данных уравнений, мы будем использовать свойство равенства степеней с одинаковыми основаниями.

1. Начнем с первого уравнения: 18^х - 8*6^х - 9*2^х = 0. Давайте преобразуем это уравнение:

18^х = 8*6^х + 9*2^х

Теперь мы можем разделить обе части уравнения на 2^х:

(18^х) / (2^х) = (8*6^х + 9*2^х) / (2^х)

Так как 18 = 2 * 3^2, а 8 = 2^3 и 6 = 2 * 3, мы можем раскрыть степень (2^х) в числителе и заменить основания 2 и 6 в числителе:

(2 * 3^2)^х = 2^3 * (2 * 3)^х + 9 * 2^х

Дальше мы можем использовать свойство равенства степеней, чтобы упростить это уравнение:

(2^х * 3^2х) = 2^3 * (2^х * 3^х) + 9 * 2^х

Сократим основания 2 во втором слагаемом, сократим основания 2 в обоих частях уравнения и перенесем все слагаемые с 2^х на одну сторону:

2^х * 3^2х - 2^3 * 2^х * 3^х - 9 * 2^х = 0

2^х * 3^2х - 2^(3 + х) * 3^х - 9 * 2^х = 0

Теперь мы можем использовать свойство равенства степеней для упрощения выражений:

2^х * 3^2х - 2^(3 + х) * 3^х - 9 * 2^х = 0

2^х * 3^2х - 2^3 * 2^х * 3^х - 9 * 2^х = 0

2^х * 3^2х - 8 * 2^х * 3^х - 9 * 2^х = 0

Сократим основания 2 и 3 в каждом слагаемом:

2^х * 9^х - 8 * 2^х * 3^х - 9 * 2^х = 0

Теперь мы можем выделить общий множитель (2^х) и сократить:

2^х * (9^х - 8 * 3^х - 9) = 0

Так как х - это переменная, мы можем записать (9^х - 8 * 3^х - 9) как одно число (Пусть это число будет а):

2^х * а = 0

Это уравнение равно нулю, только если один из множителей равен нулю:

2^х = 0 или а = 0

Очевидно, что уравнение 2^х = 0 не имеет решений (так как ни одно число, возведенное в любую степень, не будет равно нулю).

Таким образом, остается только уравнение:

а = 0

2. Теперь обратимся ко второму уравнению: 3 * 2^(2х) + 6^х - 2 * 3^(2х) = 0.

Для начала, заметим, что 3 = 3^1 и 6 = 2 * 3^1, поэтому мы можем заменить числа в уравнении:

3 * 2^(2х) + (2 * 3^1)^х - 2 * 3^(2х) = 0

Далее, мы можем использовать свойство равенства степеней и упростить:

3 * 2^(2х) + (2^х * 3^х) - 2 * (3^2)^(х) = 0

Теперь мы можем заметить, что у нас есть степень (2х) второго аргумента (2^х) и степень (х) второго аргумента (3^х). Мы можем раскрыть степень (3^х) в слагаемом (3^2)^(х), и заменить основание 3^2 вторым аргументом в уравнении:

3 * 2^(2х) + (2^х * 3^х) - 2 * (3^2)^(х) = 0

3 * 2^(2х) + (2^х * 3^х) - 2 * (3^(2 * х)) = 0

Теперь мы можем использовать свойство равенства степеней для упрощения выражений:

3 * 2^(2х) + (2^х * 3^х) - 2 * (3^(2 * х)) = 0

3 * 2^(2х) + (2^х * 3^х) - 2 * (3^2 * 3^х) = 0

Сократим основания 3 во втором слагаемом, сократим основания 3 в третьем слагаемом и сократим общий множитель 2^х:

3 * 2^(2х) + (2^х * 3^х) - 2 * (3^2 * 3^х) = 0

3 * 2^(2х) + 2^х * 3^х - 2 * 3^(2 + х) = 0

Теперь мы можем выделить общий множитель (2^х) и сократить:

2^х * (3 * 2^(х) + 3^х - 2 * 3^(2 + х)) = 0

Так как х - это переменная, мы можем записать (3 * 2^(х) + 3^х - 2 * 3^(2 + х)) как одно число (Пусть это число будет b):

2^х * b = 0

Теперь мы можем применить свойство равенства нулю и сократить:

2^х = 0 или b = 0

Уравнение 2^х = 0 не имеет решений.

Таким образом, остается только уравнение:

b = 0

Итак, решение системы уравнений:

1) а = 0 2) b = 0