Question

2cos(2x-п\4) = корень 3 cosx=2 Помогите решить 2 уравнения )

Answer 1

X=+-arccos30+2пn,n∈z

Answer 2

Давайте решим уравнение по очереди:

1) Уравнение 1: 2cos(2x-π/4) + √3 = cosx + 2

Для начала, чтобы лучше обозначить уравнение, перепишем его:

2cos(2x-π/4) - cosx = 2 - √3

Теперь воспользуемся формулами двойного аргумента и разности аргументов:

cos2α = 2cos²α - 1 cos(α-β) = cosα*cosβ + sinα*sinβ

Применим эти формулы:

2(2cos²(2x-π/4) - 1) - cosx = 2 - √3

Раскроем скобки:

4cos²(2x-π/4) - 2 - cosx = 2 - √3

Перенесем все влево:

4cos²(2x-π/4) - cosx - √3 = 0

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

sin2α = 2sinα*cosα

Подставим в формулу значения sinx и cosx:

2sinx*cosx = sin2x

Заменим cosx на √(1-sin²x):

2sinx*√(1-sin²x) = sin2x

Упростим:

2sinx√(1-sin²x) = 2sinx*cosx

Разделим обе части на sinx:

2√(1-sin²x) = 2cosx

Выразим cosx из этого уравнения:

cosx = √(1-sin²x)

Воспользуемся вторым уравнением:

cosx = 2 - √3

Подставим выражение для cosx в оба уравнения:

√(1-sin²x) = 2 - √3

Возведем обе части в квадрат:

1 - sin²x = (2 - √3)²

1 - sin²x = 4 - 4√3 + 3

sin²x = 6 - 4√3

sinx = ± √(6 - 4√3)

Как мы знаем, sin(π - x) = sin(x)

sin(π - x) = ± √(6 - 4√3)

Таким образом, получаем два уравнения:

1) sinx = ± √(6 - 4√3) 2) sin(π - x) = ± √(6 - 4√3)

Теперь решим каждое из этих уравнений.

2) Уравнение 2: cosx = 2

Так как cosx не может быть больше 1 или меньше -1, мы понимаем, что это уравнение не имеет решений.

Таким образом, мы решим только первое уравнение и получим два набора решений.