Question

Натуральное число n таково, что числа n – 1 и n + 6 являются точными квадратами. Найдите наименьшее значение n, при котором число 2n + 5 также является точным квадратом. В таблицу ответов запишите только число.

Answer 1

10-1=9=3^2

10+6=16=4^2

2*10+5=25=5^2

Answer 2

Давайте рассмотрим условие задачи.

Пусть \(n - 1 = a^2\) и \(n + 6 = b^2\), где \(a\) и \(b\) - натуральные числа.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений:

1. \(n - 1 = a^2\) 2. \(n + 6 = b^2\)

Вычтем первое уравнение из второго:

\((n + 6) - (n - 1) = b^2 - a^2\)

Упростим:

\(7 = b^2 - a^2\)

Так как \(7\) - простое число, то \(b^2 - a^2\) может быть только \(7 \times 1\) или \(1 \times 7\).

Таким образом, у нас есть два варианта:

1. \(b^2 - a^2 = 7 \times 1\), что означает, что \(b^2 = 8\) и \(a^2 = 1\). 2. \(b^2 - a^2 = 1 \times 7\), что означает, что \(b^2 = 8\) и \(a^2 = 1\).

В обоих случаях мы получаем \(b = 3\) и \(a = 1\).

Теперь найдем значение \(n\) из первого уравнения:

\(n - 1 = a^2\)

\(n - 1 = 1^2\)

\(n = 2\)

Таким образом, наименьшее значение \(n\), при котором числа \(n - 1\) и \(n + 6\) являются точными квадратами, равно 2.

Теперь проверим условие задачи:

\(2n + 5 = 2 \times 2 + 5 = 9\)

9 - точный квадрат (3^2).

Таким образом, наименьшее значение \(n\), при котором число \(2n + 5\) также является точным квадратом, равно 2.

Ответ: 2