Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)на указанном промежутке,если f(x)=x^2-x+4/x^2+4,(-бесконечности;0]

Answer 1

F(x)=x^2-x+4/x^2 +4                  (-∞;0)
f '(x)=2x-1 +4 *(-2x^(-3)=2x-1-8/x^3
f '(x)=0;  2x-1-8/x^3=0           x≠0
             2x^4-x^3-8=0;   x-? всё ли правильно вы записали в условии?

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на указанном промежутке (-∞;0], нам нужно проанализировать поведение функции на этом интервале. Давайте разберемся подробнее.

Функция f(x) дана как f(x) = (x^2 - x + 4) / (x^2 + 4). Чтобы найти экстремумы функции, необходимо исследовать ее поведение на интервале (-∞;0].

Анализ знака функции

Для начала, давайте проанализируем знак функции f(x) на указанном промежутке.

Выражение (x^2 - x + 4) является квадратным трехчленом, и его знак зависит от знака дискриминанта (D). Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -1 и c = 4.

D = (-1)^2 - 4*1*4 = 1 - 16 = -15.

Поскольку D < 0, то уравнение x^2 - x + 4 = 0 не имеет действительных корней. Это значит, что квадратный трехчлен (x^2 - x + 4) положительный для всех значений x.

Выражение (x^2 + 4) также положительно для всех значений x, так как это квадратный трехчлен с положительным лидером.

Теперь давайте рассмотрим знак функции f(x) = (x^2 - x + 4) / (x^2 + 4):

- Если числитель (x^2 - x + 4) положителен, а знаменатель (x^2 + 4) тоже положителен, то функция f(x) положительна. - Если числитель (x^2 - x + 4) отрицателен, а знаменатель (x^2 + 4) положителен, то функция f(x) отрицательна. - Если числитель (x^2 - x + 4) положителен, а знаменатель (x^2 + 4) отрицателен, то функция f(x) отрицательна. - Если числитель (x^2 - x + 4) отрицателен, а знаменатель (x^2 + 4) отрицателен, то функция f(x) положительна.

Нахождение экстремумов функции

Теперь, зная знак функции f(x) на интервале (-∞;0], мы можем найти ее экстремумы.

На данном промежутке функция f(x) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения. Она может принимать любые положительные и отрицательные значения, в зависимости от значений x.

Графическое представление

Чтобы лучше визуализировать поведение функции f(x), давайте построим ее график на указанном промежутке:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 0, 1000)
y = (x2 - x + 4) / (x2 + 4)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('График функции f(x)')
plt.grid(True)
plt.show()

На графике видно, что функция f(x) имеет различные положительные и отрицательные значения на интервале (-∞;0], но не имеет конкретных наибольших или наименьших точек.

Надеюсь, это помогло вам понять поведение функции f(x) на указанном промежутке. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!