Question

Найдите номер наибольшего члена последовательности , если an=10n/(100+n^2)

Answer 1

$\frac{10n}{100+n^2} \geq \frac{10(n+1)}{100+(n+1)^2}\\ 10n(100+(n+1)^2) \geq 10(n+1)(100+n^2)\\ n(100+(n+1)^2) \geq (n+1)(100+n^2)\\ 100n+n(n+1)^2 \geq 100n+100+n^3+n^2\\ n(n+1)^2 \geq 100+n^3+n^2\\ n(n^2+2n+1) \geq 100+n^3+n^2\\ n^3+2n^2+n \geq 100+n^3+n^2\\ n^2+n \geq 100\\ n^2+n+0,25\geq 100,25\\ (n+0,5)^2\geq 100,25\\ n+0,5>10\\n>9,5\\n=10$
$a_1= \frac{10}{101}\\ a_2= \frac{20}{104}\\ a_3= \frac{30}{109} \\...\\a_8= \frac{80}{164}\\ a_9= \frac{90}{181}\\ a_{10}= \frac{100}{200}=0,5\\ a_{11}= \frac{110}{221}$
Ответ: 10.

Answer 2

Для нахождения номера наибольшего члена последовательности an=10n/(100+n^2), мы должны проанализировать значения членов последовательности и найти тот, который имеет наибольшее значение. Давайте начнем с вычисления нескольких членов последовательности, чтобы увидеть, как они изменяются.

Подставим различные значения n в формулу an=10n/(100+n^2):

- Для n=1: a1 = 10*1/(100+1^2) = 10/101 ≈ 0.099 - Для n=2: a2 = 10*2/(100+2^2) = 20/104 ≈ 0.192 - Для n=3: a3 = 10*3/(100+3^2) = 30/109 ≈ 0.275 - Для n=4: a4 = 10*4/(100+4^2) = 40/116 ≈ 0.345

Мы можем продолжать подставлять различные значения n в формулу и вычислять соответствующие члены последовательности. Однако, чтобы найти номер наибольшего члена, мы можем использовать аналитический подход.

Для нахождения максимального значения аn, мы можем взять производную и найти точку, где она равна нулю. Это будет максимум функции.

Для этого возьмем производную от функции an по n и приравняем ее к нулю:

an = 10n / (100 + n^2)

Дифференцируем обе части по n:

d(an) / dn = d(10n / (100 + n^2)) / dn

d(an) / dn = (10(100 + n^2) - 10n(2n)) / (100 + n^2)^2

Приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение:

(10(100 + n^2) - 10n(2n)) / (100 + n^2)^2 = 0

Упростим это уравнение:

(1000 + 10n^2 - 20n^2) / (100 + n^2)^2 = 0

(1000 - 10n^2) / (100 + n^2)^2 = 0

1000 - 10n^2 = 0

10n^2 = 1000

n^2 = 100

n = ±10

Таким образом, мы получили два значения n, которые соответствуют точкам экстремума функции. Однако, нам интересует только положительное значение n, так как номер члена последовательности должен быть положительным. Таким образом, наибольший член последовательности соответствует n=10.

Подставим значение n=10 в исходную формулу, чтобы найти сам член последовательности:

a10 = 10*10/(100+10^2) = 100/200 = 0.5

Таким образом, номер наибольшего члена последовательности равен 10, а сам этот член равен 0.5.