Question

Cos2x + cosx + sinx=0помогите пожалуйста

Answer 1

2cos^2 x - 1 + cos x + sin x = 0
2(2cos^2 (x/2) - 1)^2 - 1 + (2cos^2 (x/2) - 1) + 2sin(x/2)*cos(x/2) = 0
2(4cos^4 (x/2)-4cos^2 (x/2)+1) - 1 + 2cos^2 (x/2) - 1 + 2sin(x/2)*cos(x/2) = 0
8cos^4 (x/2) - 8cos^2 (x/2) + 2 + 2cos^2 (x/2) - 2 + 2sin(x/2)*cos(x/2) = 0
8cos^4 (x/2) - 6cos^2 (x/2) + 2sin(x/2)*cos(x/2) = 0
2cos (x/2)*(4cos^3 (x/2) - 3cos (x/2) + sin (x/2)) = 0
1) cos x/2 = 0; x/2 = pi/2 + pi*k;
x1 = pi + 2pi*k

2) 4cos^3 (x/2) - 3cos (x/2) + sin (x/2) = 0
Заметим, что 4cos^3 a - 3cos a = cos 3a. Получаем:
cos (3x/2) + sin (x/2) = 0
cos (3x/2) + cos (pi/2 - x/2) = 0
Применим формулу суммы косинусов
$2cos \frac{3x/2+ \pi /2-x/2}{2}*cos \frac{3x/2- \pi /2+x/2}{2} =0$
$2cos (\frac{x}{2}+ \frac{ \pi }{4} )*cos( x - \frac{ \pi }{4} )=0$

3) cos (x/2 + pi/4) = 0; x/2 + pi/4 = pi/2 + pi*n;
x2 = pi/2 + 2pi*n

4) cos (x - pi/4) = 0; x - pi/4 = pi/2 + pi*m
x3 = 3pi/4 + pi*m

Answer 2

Уравнение cos(2x) + cos(x) + sin(x) = 0 является тригонометрическим уравнением, которое можно решить, используя различные методы. Давайте рассмотрим один из них.

Метод решения

1. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества и формулы: - cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 - cos(x) = 1 - 2sin^2(x/2) - sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2) 2. Подставим эти значения в исходное уравнение: - 2cos^2(x) - 1 + 1 - 2sin^2(x/2) + 2sin(x/2)cos(x/2) = 0 - Упростим уравнение: - 2cos^2(x) - 2sin^2(x/2) + 2sin(x/2)cos(x/2) - 1 = 0 - 2(cos^2(x) - sin^2(x/2) + sin(x/2)cos(x/2)) - 1 = 0 - 2(cos^2(x) - sin^2(x/2) + sin(x/2)cos(x/2)) = 1 - cos^2(x) - sin^2(x/2) + sin(x/2)cos(x/2) = 1/2 3. Заменим sin^2(x/2) на 1 - cos^2(x/2): - cos^2(x) - (1 - cos^2(x/2)) + sin(x/2)cos(x/2) = 1/2 - cos^2(x) - 1 + cos^2(x/2) + sin(x/2)cos(x/2) = 1/2 - cos^2(x) + cos^2(x/2) + sin(x/2)cos(x/2) = 3/2 4. Заменим sin(x/2)cos(x/2) на (1/2)sin(x): - cos^2(x) + cos^2(x/2) + (1/2)sin(x) = 3/2 5. Перенесем все члены в левую часть уравнения: - cos^2(x) + cos^2(x/2) + (1/2)sin(x) - 3/2 = 0 6. Обозначим cos(x/2) = t: - cos^2(x) + t^2 + (1/2)sin(2x) - 3/2 = 0 7. Заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x): - cos^2(x) + t^2 + (1/2)(2sin(x)cos(x)) - 3/2 = 0 - cos^2(x) + t^2 + sin(x)cos(x) - 3/2 = 0 8. Заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x): - 1 - sin^2(x) + t^2 + sin(x)cos(x) - 3/2 = 0 - -sin^2(x) + t^2 + sin(x)cos(x) - 1/2 = 0 9. Перенесем все члены в левую часть уравнения: - -sin^2(x) + sin(x)cos(x) + t^2 - 1/2 = 0 10. Заменим sin(x)cos(x) на (1/2)sin(2x): - -sin^2(x) + (1/2)sin(2x) + t^2 - 1/2 = 0 11. Заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x): - -(1 - cos^2(x)) + (1/2)sin(2x) + t^2 - 1/2 = 0 - -1 + cos^2(x) + (1/2)sin(2x) + t^2 - 1/2 = 0 - cos^2(x) + (1/2)sin(2x) + t^2 - 3/2 = 0 12. Обозначим sin(2x) = 2sin(x)cos(x): - cos^2(x) + (1/2)(2sin(x)cos(x)) + t^2 - 3/2 = 0 - cos^2(x) + sin(x)cos(x) + t^2 - 3/2 = 0 13. Заменим cos(x) = 1 - 2sin^2(x/2): - (1 - 2sin^2(x/2))^2 + sin(x)(1 - 2sin^2(x/2)) + t^2 - 3/2 = 0 - 1 - 4sin^2(x/2) + 4sin^4(x/2) + sin(x) - 2sin^3(x/2) + t^2 - 3/2 = 0 - 4sin^4(x/2) - 2sin^3(x/2) - 4sin^2(x/2) + sin(x) + t^2 - 1/2 = 0 14. Обозначим sin(x/2) = u: - 4u^4 - 2u^3 - 4u^2 + 2u + t^2 - 1/2 = 0 15. Решим полученное уравнение численно или графически для значения u и t.

Пожалуйста, обратите внимание, что это только один из возможных методов решения данного уравнения. Существуют и другие подходы к его решению.