Question

Дана функция y=f(x),где f(x)=x-4.Найдите все значения x,при которых справедливо неравенство:f(x^2)f(x+5)<=0

Answer 1

Это легко решить графически

Строишь графики функций y = x² и y = x + 5, но в системе координат с дополнительной осью O$y_{1}$, параллельной оси Оy, но сдвинутой на 4 вправо, т.е. провести ее надо через точку 4 по оси Ох.
Построил? Теперь смотришь на знаки. Если на каком-то отрезке оси Ох знаки функции одинаковы, т.е. их графики одновременно или выше, или ниже оси Ох, то нужное нам произведение больше нуля, если находятся по разные стороны от оси Ох, то оно меньше нуля.

Т.е. в нашем случае ответ будет x ∈ (-бесконечности; -1], или x ≤ -1

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

1. \(f(x^2) > f(x+5)\)

Для начала найдем выражения \(f(x^2)\) и \(f(x+5)\):

\[ f(x^2) = x^2 - 4 \] \[ f(x+5) = (x+5) - 4 = x + 1 \]

Теперь подставим эти выражения в неравенство:

\[ x^2 - 4 > x + 1 \]

Перенесем все члены влево:

\[ x^2 - x - 5 > 0 \]

Теперь решим квадратное неравенство. Для этого найдем корни квадратного уравнения:

\[ x^2 - x - 5 = 0 \]

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-5) = 1 + 20 = 21 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2} \]

Таким образом, корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \] \[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \]

Теперь определим интервалы, на которых неравенство выполняется. Исходя из знаков функции \(x^2 - x - 5\) между корнями, мы можем сказать, что:

\[ x < \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \] или \[ x > \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \]

2. \(f(x^2)f(x+5) \leq 0\)

Теперь рассмотрим неравенство \(f(x^2)f(x+5) \leq 0\). Это неравенство будет выполнено, если произведение функций принимает значение 0 или отрицательное значение.

Мы уже нашли корни уравнения \(f(x^2)\), и теперь найдем корень уравнения \(f(x+5)\):

\[ x + 1 = 0 \]

\[ x = -1 \]

Таким образом, у нас есть три точки, которые следует рассмотреть: \(x_1\), \(x_2\), и \(x = -1\).

Теперь рассмотрим интервалы между этими точками и определим знак произведения функций в каждом из них:

- Для \(x < \frac{1 - \sqrt{21}}{2}\) и \(x < -1\) оба множителя отрицательны, произведение положительно. - Для \(\frac{1 - \sqrt{21}}{2} < x < -1\) первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно. - Для \(-1 < x < \frac{1 + \sqrt{21}}{2}\) оба множителя положительны, произведение положительно. - Для \(x > \frac{1 + \sqrt{21}}{2}\) и \(x > -1\) первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно.

Таким образом, решение неравенства \(f(x^2)f(x+5) \leq 0\) - это объединение интервалов:

\[ x \in \left(-\infty, \frac{1 - \sqrt{21}}{2}\right] \cup \left(\frac{1 + \sqrt{21}}{2}, \infty\right) \cup \{-1\} \]