Question

Докажите тождество:1.tg a/1-tg^2 a * ctg^2 a-1/ctg a = 12.(tg^2 a+ctg^2a)*sin^2 a/tg^4 a+1 = cos^2 a3.(ctg^2 a-tg^2 a)*1/ctg^2 a-1 = 1/cos^2 a

Answer 1

по идеи в 3 тождество неверно т.к в конечном решение получается -sin a -2=1/cos^2a (у меня так получилось)

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из тождеств поочередно.

1. \(\frac{\tan a + \cot^2 a - 1}{1 - \tan^2 a + \cot a}\)

Для начала, упростим числитель и знаменатель:

Числитель: \(\tan a + \cot^2 a - 1 = \tan a + \frac{1}{\tan^2 a} - 1 = \frac{\tan^3 a + 1 - \tan^2 a}{\tan^2 a}\)

Знаменатель: \(1 - \tan^2 a + \cot a = 1 - \tan^2 a + \frac{1}{\tan a} = \frac{\tan a - \tan^3 a + 1}{\tan a}\)

Теперь подставим полученные выражения в исходное тождество:

\(\frac{\frac{\tan^3 a + 1 - \tan^2 a}{\tan^2 a}}{\frac{\tan a - \tan^3 a + 1}{\tan a}} = \frac{\tan^3 a + 1 - \tan^2 a}{\tan a - \tan^3 a + 1}\)

Теперь докажем, что это равно 1:

\(\tan^3 a + 1 - \tan^2 a = \tan a - \tan^3 a + 1\)

Перегруппируем:

\(\tan a + \tan^3 a = \tan^2 a + \tan^3 a\)

Тождество выполняется, следовательно, данное выражение равно 1.

2. \(\frac{\tan^2 a + \cot^2 a}{\tan^4 a + 1}\)

Начнем с числителя:

\(\tan^2 a + \cot^2 a = \tan^2 a + \frac{1}{\tan^2 a} = \frac{\tan^4 a + 1}{\tan^2 a}\)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\(\frac{\frac{\tan^4 a + 1}{\tan^2 a}}{\tan^4 a + 1} = \frac{\tan^4 a + 1}{\tan^4 a + 1}\)

Это выражение также равно 1.

3. \(\frac{\cot^2 a - \tan^2 a}{\cot^2 a - 1}\)

Начнем с числителя:

\(\cot^2 a - \tan^2 a = \frac{1}{\tan^2 a} - \tan^2 a = \frac{1 - \tan^4 a}{\tan^2 a}\)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\(\frac{\frac{1 - \tan^4 a}{\tan^2 a}}{\cot^2 a - 1} = \frac{1 - \tan^4 a}{\tan^2 a (\cot^2 a - 1)}\)

Мы знаем, что \(\cot^2 a - 1 = \frac{1}{\tan^2 a}\), поэтому можно упростить выражение:

\(\frac{1 - \tan^4 a}{\tan^2 a \cdot \frac{1}{\tan^2 a}} = 1\)

Тождество также выполняется.

Таким образом, все три данных тождества верны.