Question

Исследовать функцию и построить график f(x)=-2x³+3x²-1

Answer 1

F(x)=-2x^3+3x^2-1
x=0  f(0)= -1
2x^3-3x^2+1=0
f(1)=0 подбором один из корней х1=1.
по графику х2=-0,5

f'(x)=-6x²+6x=6x(1-x)  метод интервалов:
--------------0----------------1------------
      -                   +                    - 
убывает        возр.             убывает
при х=0 минимум равный -1
при х=1 максимум равный 0
f''(x)=-12x+6    -12x+6=0  x=1/2 точка перегиба, до х=0,5 выпукла вниз
далее вверх.
график приложен.

Answer 2

Для исследования функции f(x)=-2x³+3x²-1 нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции f(x) по переменной x. f'(x) = -6x² + 6x

2. Найдем корни уравнения f'(x) = 0, чтобы определить точки экстремума функции. -6x² + 6x = 0 -6x(x - 1) = 0 x = 0 или x = 1

3. Найдем вторую производную функции f(x). f''(x) = -12x + 6

4. Определим знак второй производной на интервалах между корнями f'(x) и за пределами этих корней, чтобы определить выпуклость и вогнутость функции.

- Для x < 0: f''(x) < 0, следовательно, функция вогнута в интервале (-∞, 0). - Для 0 < x < 1: f''(x) > 0, следовательно, функция выпукла в интервале (0, 1). - Для x > 1: f''(x) < 0, следовательно, функция вогнута в интервале (1, +∞).

5. Определим поведение функции на бесконечностях.

- При x → -∞: f(x) → -∞ - При x → +∞: f(x) → -∞

Теперь, когда мы исследовали функцию f(x)=-2x³+3x²-1, построим ее график:

Поскольку у нас есть информация о точках экстремума, выпуклости и вогнутости функции, мы можем построить график, учитывая эти особенности.

График функции f(x)=-2x³+3x²-1 будет иметь следующий вид:

^ | | | +------+ + | / | / | / | / | / | / | / | / +------------+--------------> x

Это всего лишь пример графика, и он может быть приближенным. Однако, он позволяет нам визуально представить поведение функции и ее особенности.

Надеюсь, данное объяснение и график помогут вам лучше понять функцию f(x)=-2x³+3x²-1.