Question

При каких значениях параметра m уравнения x*2 + 2mx+(m+2)=0 имеет корни?

Answer 1

D=4m²-4m-8≥0
4(m²-m-2)≥0
m1=m2=1 U m1*m2=-2
m=-1 U m=2
уравнение имеет корни при m∈(-∞;-1] U [2;∞)

Answer 2

Уравнение вида x^2 + 2mx + (m + 2) = 0 является квадратным уравнением, где x - переменная, m - параметр. Чтобы определить, при каких значениях параметра m уравнение имеет корни, мы можем использовать дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 определяется по формуле D = b^2 - 4ac. В нашем случае, a = 1, b = 2m и c = m + 2.

Условия для наличия корней

Уравнение имеет корни в следующих случаях: 1. Если дискриминант D > 0, то уравнение имеет два различных корня. 2. Если дискриминант D = 0, то уравнение имеет один корень (корень кратности 2). 3. Если дискриминант D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Решение

Для определения значений параметра m, при которых уравнение имеет корни, мы можем использовать эти условия.

1. Дискриминант D > 0: Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня. Для этого случая, нам нужно найти значения параметра m, при которых D > 0. Запишем дискриминант D > 0 и решим неравенство: b^2 - 4ac > 0 (2m)^2 - 4(1)(m + 2) > 0 4m^2 - 4m - 8 > 0 m^2 - m - 2 > 0

Чтобы решить это квадратное неравенство, мы можем использовать метод интервалов или график функции. После анализа, мы находим, что корни этого неравенства находятся в интервале (-∞, -1) U (2, +∞). То есть, когда m принадлежит этому интервалу, уравнение имеет два различных корня.

2. Дискриминант D = 0: Если D = 0, то уравнение имеет один корень (корень кратности 2). Для этого случая, нам нужно найти значения параметра m, при которых D = 0. Запишем дискриминант D = 0 и решим уравнение: b^2 - 4ac = 0 (2m)^2 - 4(1)(m + 2) = 0 4m^2 - 4m - 8 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы получаем два значения m = -1 и m = 2. То есть, когда m равно -1 или 2, уравнение имеет один корень кратности 2.

3. Дискриминант D < 0: Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Для этого случая, нам нужно найти значения параметра m, при которых D < 0. Запишем дискриминант D < 0 и решим неравенство: b^2 - 4ac < 0 (2m)^2 - 4(1)(m + 2) < 0 4m^2 - 4m - 8 < 0

Чтобы решить это квадратное неравенство, мы можем использовать метод интервалов или график функции. После анализа, мы находим, что корни этого неравенства находятся в интервале (-1, 2). То есть, когда m принадлежит этому интервалу, уравнение не имеет действительных корней.

Вывод

Итак, уравнение x^2 + 2mx + (m + 2) = 0 имеет корни в следующих случаях: - Когда m принадлежит интервалу (-∞, -1) U (2, +∞), уравнение имеет два различных корня. - Когда m равно -1 или 2, уравнение имеет один корень кратности 2. - Когда m принадлежит интервалу (-1, 2), уравнение не имеет действительных корней.

Примечание: Пожалуйста, обратите внимание, что информация, предоставленная выше, основана на моем анализе и может быть подтверждена с помощью математических методов и вычислений.