Question

Интеграл от tg^2(x)/sin^2(x) по dx Расписать

Answer 1

____________________
_____________________

Answer 2

Для начала, давайте распишем интеграл от \(\frac{{\tan^2(x)}}{{\sin^2(x)}}\) по \(dx\).

Используя тригонометрические тождества, мы можем переписать \(\tan^2(x)\) как \(\sec^2(x) - 1\) и \(\sin^2(x)\) как \(1 - \cos^2(x)\). Таким образом, получаем:

\[ \begin{{align*}} \int \frac{{\tan^2(x)}}{{\sin^2(x)}} dx &= \int \frac{{\sec^2(x) - 1}}{{1 - \cos^2(x)}} dx \\ &= \int \frac{{\sec^2(x)}}{{1 - \cos^2(x)}} dx - \int \frac{{1}}{{1 - \cos^2(x)}} dx. \end{{align*}} \]

Далее, воспользуемся тригонометрической подстановкой \(u = \cos(x)\) для второго интеграла. Тогда \(du = -\sin(x) dx\) и \(\sin^2(x) = 1 - u^2\). Подставим это значение обратно в интеграл:

\[ \begin{{align*}} \int \frac{{\tan^2(x)}}{{\sin^2(x)}} dx &= \int \frac{{\sec^2(x)}}{{1 - \cos^2(x)}} dx - \int \frac{{1}}{{1 - \cos^2(x)}} dx \\ &= \int \frac{{\sec^2(x)}}{{\sin^2(x)}} dx + \int \frac{{1}}{{\sin^2(x)}} dx \\ &= \int \frac{{1}}{{\sin^2(x)}} dx + \int \csc^2(x) dx. \end{{align*}} \]

Теперь рассмотрим каждый из этих интегралов по отдельности:

1. Интеграл от \(\frac{{1}}{{\sin^2(x)}}\):

Заметим, что \(\frac{{1}}{{\sin^2(x)}} = \csc^2(x)\). Поэтому интеграл от \(\frac{{1}}{{\sin^2(x)}}\) равен \(-\cot(x)\):

\[ \int \frac{{1}}{{\sin^2(x)}} dx = -\cot(x) + C_1, \]

где \(C_1\) - произвольная постоянная.

2. Интеграл от \(\csc^2(x)\):

Интеграл от \(\csc^2(x)\) равен \(-\cot(x)\):

\[ \int \csc^2(x) dx = -\cot(x) + C_2, \]

где \(C_2\) - еще одна произвольная постоянная.

Таким образом, итоговый интеграл будет равен:

\[ \int \frac{{\tan^2(x)}}{{\sin^2(x)}} dx = -\cot(x) - \cot(x) + C = -2\cot(x) + C, \]

где \(C\) - произвольная постоянная.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.