Question

Докажите, что выражение (a+b)(a+b-2)+1=0 принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных

Answer 1

A+b=t; (a+b)(a+b-2)+1=t(t-2)+1=t²-2t+1=(t-1)²≥0

Answer 2

 (a+b)(a+b-2)+1=a²+ab-2a+ab+b²-2b+1=(a+b)²-2(a+b)+1=
[(a+b)-1)²≥0 при любых a и b

Answer 3

Для доказательства, что выражение `(a+b)(a+b-2)+1=0` принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных, давайте рассмотрим его подробнее.

Разбор выражения

Данное выражение представляет собой квадратный трехчлен `(a+b)(a+b-2)` с добавлением константы `1`. Чтобы показать, что оно принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных `a` и `b`, нужно доказать, что квадратный трехчлен неотрицательный.

Доказательство неотрицательности квадратного трехчлена

Для доказательства неотрицательности квадратного трехчлена `(a+b)(a+b-2)`, рассмотрим два случая:

Случай 1: Если `a+b >= 0`, то оба множителя `(a+b)` и `(a+b-2)` неотрицательны. При умножении двух неотрицательных чисел получается неотрицательное число.

Случай 2: Если `a+b < 0`, то оба множителя `(a+b)` и `(a+b-2)` отрицательны. При умножении двух отрицательных чисел также получается неотрицательное число.

Таким образом, в обоих случаях квадратный трехчлен `(a+b)(a+b-2)` является неотрицательным.

Добавление константы

Теперь рассмотрим добавленную константу `1`. Поскольку мы знаем, что квадратный трехчлен `(a+b)(a+b-2)` неотрицательный, добавление положительной константы `1` не изменит его неотрицательности. То есть, даже при добавлении `1`, выражение `(a+b)(a+b-2)+1` все равно будет принимать неотрицательные значения при любых значениях переменных `a` и `b`.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что выражение `(a+b)(a+b-2)+1=0` принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных `a` и `b`.