Question

Объясните и решите логарифмическое неравенство и его систему lg(х+5)-lg(х²-25)=0

Answer 1

Если открыть скобки, то получится 1/х-5=0
1=х-5
-х=-6
х=6

Answer 2

Давайте начнем с решения логарифмического уравнения и его системы. У нас есть уравнение:

\[ \log(x + 5) - \log(x^2 - 25) = 0 \]

Первым шагом мы можем использовать свойство логарифмов, которое говорит о том, что разность логарифмов равна логарифму отношения:

\[ \log(x + 5) - \log(x^2 - 25) = \log\left(\frac{x + 5}{x^2 - 25}\right) = 0 \]

Теперь мы можем решить уравнение:

\[ \log\left(\frac{x + 5}{x^2 - 25}\right) = 0 \]

Логарифм равен нулю только в том случае, если его аргумент равен 1 (так как \( \log(1) = 0 \)). Поэтому:

\[ \frac{x + 5}{x^2 - 25} = 1 \]

Умножим обе стороны уравнения на \(x^2 - 25\) для избавления от знаменателя:

\[ x + 5 = x^2 - 25 \]

Теперь приведем все члены к одной стороне уравнения:

\[ x^2 - x - 30 = 0 \]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или используя квадратное уравнение:

\[ (x - 6)(x + 5) = 0 \]

Отсюда получаем два корня: \(x = 6\) и \(x = -5\).

Однако, мы также должны учитывать допустимость полученных значений, так как логарифмы определены только для положительных чисел.

В исходном уравнении \( \log(x + 5) - \log(x^2 - 25) = 0 \) под логарифмом \( \log(x^2 - 25) \) необходимо, чтобы \( x^2 - 25 > 0 \), что означает \( x > 5 \) или \( x < -5 \). Однако, \( x < -5 \) не удовлетворяет условию \( x + 5 > 0 \).

Таким образом, \( x = 6 \) - это решение, которое удовлетворяет всем условиям исходного логарифмического уравнения.

Система решений: \( x = 6 \).