Question

Найдите площадь фигуры,ограниченной указанными линиями y=2x^2+1 и y=x^2+10

Answer 1

Для наглядности построим график функций и найдем точки их пересечения.

$2x^2+1=x^2+10 \\ x^2=9 \\ x_{123} = \pm3$

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями, необходимо вычислить определенный интеграл.
Пределы интегрирования, мы уже нашли от -3 до +3.

Искомая площадь, как видно из графика, будет равна разности  между площадями ограниченной графиком 
$y=x^2+10$
и
$y=2x^2+1$

Тогда

$S = \int\limits^{3}_{-3}( {x^2+10}) \, dx - \int\limits^3_{-3}( {2x^2+1}) \, dx =$

$= \frac{x^3}{3} |^{3}_{-3}+10x|^{3}_{-3} - \frac{2x^3}{3} |^{3}_{-3}-x|^{3}_{-3}=$

$= 9+9+30+30 - (18+18 + 3+3)= 36$ кв.ед.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя заданными линиями, необходимо найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл от разности этих функций на соответствующем интервале.

Для начала найдем точки пересечения двух функций, приравняв их уравнения: 2x^2 + 1 = x^2 + 10

Перенесем все члены в одну сторону и получим