Question

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а, х=b, осью ох и графиком функции у=f(x) a=-3, b=-1 f(x)=1/x^2

Answer 1

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью Х, прямыми a и b, и графиком непрерывной на отрезке (a,b) функции f(x), которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисc. Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу f(x) по dx от а до b.

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b, осью Ox и графиком функции y = f(x), где a = -3, b = -1 и f(x) = 1/x^2, мы можем использовать определенный интеграл.

Определение площади криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции можно найти с помощью определенного интеграла. Для функции y = f(x) и интервала [a, b], площадь криволинейной трапеции равна интегралу от a до b функции f(x) по оси Ox.

Нахождение площади криволинейной трапеции

В данном случае, у нас задана функция f(x) = 1/x^2 и интервал [a, b] = [-3, -1].

Используя определенный интеграл, мы можем записать формулу для нахождения площади криволинейной трапеции:

S = ∫[a,b] f(x) dx

Подставляя значения a = -3, b = -1 и f(x) = 1/x^2, получаем:

S = ∫[-3,-1] (1/x^2) dx

Вычисление интеграла

Для вычисления данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям или замену переменной. В данном случае, для удобства, воспользуемся методом замены переменной.

Проведя замену переменной u = x^(-1), получаем:

du = -x^(-2) dx

Интеграл принимает вид:

S = ∫[-3,-1] (1/x^2) dx = ∫[1/(-3), 1/(-1)] u du

Вычислим интеграл:

S = ∫[1/(-3), 1/(-1)] u du = [ln|u|] [1/(-3), 1/(-1)]

Подставляя обратную замену u = x^(-1), получаем:

S = [ln|x^(-1)|] [1/(-3), 1/(-1)]

Вычислим значения интеграла:

S = [ln|(-1)| - ln|(-3)|] = ln(1) - ln(3) = -ln(3)

Ответ

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = -3, x = -1, осью Ox и графиком функции f(x) = 1/x^2, равна -ln(3).